Giải phương trình: $Z^2+\overline{Z}=0$.

Xét phương trình $Z^2+\overline{Z}=0   (1)$
Đặt $Z=x+yi\Rightarrow \overline{Z}=x-yi$. Từ đó
$(1)\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi +x-yi=0\Leftrightarrow (x^2-y^2+x)+(2xy-y)i=0$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-y^2+x=0 \\y(2x-1)=0 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}y=0 \\x^2+x=0 \end{cases}\\\begin{cases}x= \frac{1}{2}\\\frac{3}{4}-y^2= 0\end{cases}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}y=0 \\ 
\left[ \begin{array}{l}x = 0  \\x =-1 \end{array} \right.\end{cases}\\\begin{cases}x= \frac{1}{2}\\y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}\end{array} \right.$
Vậy $(1)$ có các nghiệm sau: $Z_1=0; Z_2=-1; Z_3=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i; Z_4=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$.