$1/$Ta có:
$a^{3}+ b^{3}=
\left ( a+b \right )^{3}-3ab
\left ( a+b \right )$
$\Rightarrow
a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc=
\left ( a+b \right )^{3} + c^{3}
-3ab \left ( a+b+c \right ) $
$=
\left ( a+b+c \right ) [
\left ( a+b \right )^{2}-
\left ( a+b \right )c+
c^{2}-3ab ] $
$=
\left ( a+b+c \right ) \left ( a^{2} +
b^{2} + c^{2} -ab-bc-ca\right )$
$\Rightarrow
a^{3}+ b^{3} + c^{3} =
3abc+ \left ( a+b +c\right )
\left ( a^{2} + b^{2} + c^{2} -ab-bc-ca\right ) $
$2/$Theo chứng minh $1/$, ta có:
$ \frac{
a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc}{a+b+c}=
a^{2} + b^{2} + c^{2} -ab-bc-ca $
$=\frac{1}{2}[
\left ( a-b \right )^{2}+
\left ( b-c \right )^{2 }
+ \left ( c-a \right )^{2} ]\geq 0 $
(Chú ý: vì $
a^{2}+ b^{2} + c^{2} \geq ab+bc+ca$, nên: $\frac{
a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc }{a+b+c}\geq 0$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)
- Cho $ a,b,c>0$. Chứng minh a) Nếu $a>b$ thì $\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c} $ b) Nếu $ a
- Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\geq 6$
- Chứng minh rằng: $\sin \frac{5\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}>1$
- Cho $a, b>0$. Chứng minh:a) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2 (1)$ Dấu = chỉ xảy ra khi $a=b$.b) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} (2)$ Dấu = chỉ xảy ra khi $a=b$.
- $1) $Chứng minh: $\forall a,\,b\, > 0;\,a,b \ne 1$ ta có $\left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2$$2)$Chứng minh:$\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{\frac{9}{2}}}\pi }} < 2$
- $1)$ Chứng minh: ${\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001$$2)$ Tổng quát $\forall n > 1 $. Chứng minh : ${\log _n}\left( {n + 1} \right) > {\log _{n + 1}}\left( {n + 2} \right)$
- Chứng minh với mọi $x,y,z$:a) $|x+y+z|\leq|x|+|y|+|z| b)|x-z|\leq |x-y|+|y-z|$
- Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$ $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$