Ta có:
\(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc \\
\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab+ac-2bc\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \left (
\frac{a}{2}-b+c \right )^{2}\geq 0\) (đúng)
\(\Rightarrow \)đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{2}-b+c=0$.
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)
- Cho $ a,b,c>0$. Chứng minh a) Nếu $a>b$ thì $\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c} $ b) Nếu $ a
- Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\geq 6$
- Chứng minh rằng: $\sin \frac{5\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}>1$
- Cho $a, b>0$. Chứng minh:a) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2 (1)$ Dấu = chỉ xảy ra khi $a=b$.b) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} (2)$ Dấu = chỉ xảy ra khi $a=b$.
- $1) $Chứng minh: $\forall a,\,b\, > 0;\,a,b \ne 1$ ta có $\left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2$$2)$Chứng minh:$\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{\frac{9}{2}}}\pi }} < 2$
- $1)$ Chứng minh: ${\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001$$2)$ Tổng quát $\forall n > 1 $. Chứng minh : ${\log _n}\left( {n + 1} \right) > {\log _{n + 1}}\left( {n + 2} \right)$
- Chứng minh với mọi $x,y,z$:a) $|x+y+z|\leq|x|+|y|+|z| b)|x-z|\leq |x-y|+|y-z|$
- Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$ $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$