Đề bài:
1) Tìm a để bất phương trình sau đúng với $\forall x \in [- 2;4 ]:$$ – 4\sqrt {( 4 – x )( x + 2} ) \le x^2 – 2x + a – 18 $ (1)2) Tìm a và b để bất đẳng thức sau đúng với $\forall x$ $| cos2x + acosx + b – 1| \le 1$ (2)
Bài giải:
1) (1) $ \Leftrightarrow -{x^2} + 2{\rm{x – a + 18 – 4}}\sqrt {{\rm{ – }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + 2{\rm{x + 8}}} \le 0$
Đặt $\sqrt {{\rm{ – }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + 2{\rm{x + 8}}} $= t, với $x \in \left[ { – 2;4} \right]$
Nhận xét : $ -x^2+2x+8 = 9-(x-1)^2 \le 9$ suy ra $t \in \left[ {0;3} \right]$.
Do đó : (1) thỏa mãn với mọi $x \in \left[ { – 2;4} \right]$
$ \Leftrightarrow f(t) = {t^2} – 4t + 10 – a \le 0$ với mọi $t \in \left[ {0;3} \right]$
Lập bảng biến thiên của f(t) với $t \in \left[ {0;3} \right]$
Từ đó, ta có:
$f(t) \le 0$ với mọi $t \in \left[ {0;3} \right]$$ \Leftrightarrow 10 – a \le 0 \Leftrightarrow a \ge 10$
2) Điều kiện cần là (2) phải đúng với $x = 0,\frac{\pi }{2},\pi \Rightarrow $ ta được :
Với $x = 0$ : $\left| {a + b} \right| \le 1 \Leftrightarrow – 1 \le a + b \le 1$ (3)
Với $x = \frac{\pi }{2}$ : $\left| {b – 2} \right| \le 1 \Leftrightarrow 1 \le b \le 3$ (4)
Với $x = \pi $ : $\left| { – a + b} \right| \le 1 \Leftrightarrow – 1 \le – a + b \le 1$ (5)
Cộng từng vế (3) và (5) ta được $ – 1 \le b \le 1$ (6)
(6) và (4) $ \Rightarrow b = 1$. Với $b = 1$ thay vào (3) và (5) ta lần lượt có
$\left\{ \begin{array}{l} -2 \le a \le 0 \\ 0 \le a \le 2 \end{array} \right. \Rightarrow a = 0$
Điều kiện đủ: Với $b = 1,a = 0$ (2) trở thành $\left| {c{\rm{os2x}}} \right| \le 1$ rõ ràng đúng với $\forall x$
Vậy để (2) đúng với $\forall x$ $ \Leftrightarrow a = 0,b = 1$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời