Cho $3$ số thực dương phân biệt $a,b,c: (0

Đề bài:
 Cho $3$ số thực dương phân biệt $a,b,c: (0
Bài giải:
Đặt $\begin{cases}\alpha=\frac{1}{3}(\frac{P}{4}-\sqrt{d-\frac{Q}{2}}) \\ \beta=\frac{1}{3}(\frac{P}{4}+\sqrt{d-\frac{Q}{2}}) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\alpha+\beta=\frac{P}{6} \\ \alpha.\beta=\frac{1}{9}(\frac{P^2}{16}-d+\frac{Q}{2}) \end{cases}$
Ta có:
* $d-\frac{Q}{2}=(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>0$ ( do $a$\Rightarrow $ Bài toán có nghĩa và $\alpha$\Rightarrow \alpha,\beta$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình
$f(t):t^2-\frac{P}{6}t+\frac{1}{9}(\frac{P^2}{16}-d+\frac{Q}{2})=0                                    (2)$
* $\frac{S}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{P}{12}=\frac{a+b+c}{3} \Rightarrow a* $f(a)=a^2-\frac{P}{6}a+\frac{1}{9}(\frac{P^2}{16}-d+\frac{Q}{2})=a^2-\frac{2a(a+b+c)}{3}+\frac{ab+bc+ca}{3}$
      $=\frac{a^2-ab+bc-ca}{3}=frac{(a-b)(a-c)}{3}>0$    ( do $a* Tương tự $f(c)=\frac{(c-a)(c-b)}{3}>0$   ( do $a* Từ $(2),(3),(4),(5)$ suy ra phương trình $(1)$ có các nghiệm $\alpha, \beta$ thỏa mãn $a