Đề bài:
Cho bất phương trình: $4\sqrt{(4-x)(2+x)} \geq 18-a+2x-x^2 (1)$a) Giải bất phương trình khi $a=6$b) Tìm $a$ để bất phương trình nghiệm đúng $ \forall x \in [-2;4]$
Bài giải:
Tập xác định: $R$
Viết lại $(1) \Leftrightarrow 4\sqrt{-x^2+2x-8} \geq 18-a+2x-x^2$
Để ý: $\frac{-1}{1}=\frac{2}{-2}$ nên đặt $t=\frac{-x^2+2x+8}=\sqrt{9-(x-1)^2} \Rightarrow 0 \leq t \leq 3 (2)$
Bất phương trình $(1)$ trở thành $t^2-4t+10 \leq a (3)$
a) Khi $a=6$ bất phương trình trở thành $t^2-4t+4 \leq 0 \Leftrightarrow t=2$ ( thích hợp)
Vạy bất phương trình $(1)$ có nghiệm thỏa $\sqrt{9-(x-1)^2}=2 \Leftrightarrow (x-1)^2=5$
$\Leftrightarrow x=1\pm \sqrt{5}$
b) Gọi$ f(t)=t^2-4t+10 .\mathop {\max}\limits_{[0;3]} f(t)=\max\left\{ {f(0);f(3)} \right\}=10$
Bất phương trình $(1)$ có nghiệm $\forall x \in [-2;4] \Leftrightarrow $ Bất phương trình $h(t)=t^4-4t+10-a \leq 0$ nghiệm $\forall t \in [0;3] \Leftrightarrow $ Phương trình $h(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa $t_1 \leq 0
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời