Đề bài:
Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
Bài giải:
a) Khi $m=8$, bất phương trình trở thành $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq 8-2x (2)$
$(2) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{cases}8-2x
{\begin{cases}8-2x \geq 0 \\ -x^2+6x-5 \geq (8-2x)^2 \end{cases}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{cases}x>4 \\ 1 \leq x \leq 5 \end{cases}}\\
{\begin{cases}x \leq 4 \\ 5x^2-38x+69 \leq 0 \end{cases}}
\end{array}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4
{\begin{cases}x \leq 4 \\ 3 \leq x \leq \frac{23}{5} \end{cases}}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4
{3 \leq x \leq 4}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow 3 \leq x \leq 5$
b) Gọi $f(x)=\sqrt{-x^2+6x-5}$, ta có $\mathop {\min}\limits_{[1;5]} f(x)=f(1)=f(5)=0$
Gọi $h(x)=8-2x$ ta có: $\mathop {\max}\limits_{[1;5]}=h(1)=m-2$
+ Bất phương trình $(1)$ nghiệm $ \forall x \in K=[1;5] \Leftrightarrow
\mathop {\min}\limits_{[1;5]} f(x)= \mathop {\max}\limits_{[1;5]} h(x)$
$\Leftrightarrow 0 \geq m-2 \Leftrightarrow m \leq 2$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
- Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{x+2y+1}{x^2+y^2+7} (1)$
Trả lời