Đề bài:
Cho bất phương trình: $\sqrt{8+2x-x^2} \leq \frac{3x+m}{2} (1)$a) Giải bất phương trình khi $m=3$b) Tìm $m$ để $(1)$ nghiệm $\forall x \in K= [-2;4]$
Bài giải:
a) Khi $m=3$ bất phương trình trở thành $\sqrt{8+2x-x^2} \leq \frac{3x+3}{2} (2)$
$(2) \Leftrightarrow \begin{cases}3x+3 \geq 0 \\ 8+2x-x^2 \geq 0 \\ 8+2x-x^2 \leq (\frac{3x+3}{2})^2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x \geq -1 \\ -2 \leq x \leq 4 \\ 13x^2+10x-23 \geq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-1 \leq x \leq 4 \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \leq -\frac{23}{13}}\\
{x \geq 1}
\end{array}} \right. \end{cases}$
$\Leftrightarrow 1 \leq x \leq 4$
b) Gọi $(\Delta_m)$ là đường thẳng: $y=\frac{3x+m}{2} \Leftrightarrow 3x-2y+m=0$
* Khoảng cách từ $I$ đến $(\Delta_m)$ là $d=\frac{|3.1-2.0+m|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}=\frac{|m+3|}{\sqrt{13}}$
* $(\Delta_m)$ tiếp xúc với $(C) \Leftrightarrow \begin{cases}d=R \\ (\Delta_m) ở trên (\Delta) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{|m+3|}{\sqrt{13}}=3 \\ m>3 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m=-3 \pm 3\sqrt{13} \\ m>3 \end{cases} \Leftrightarrow m=-3+3\sqrt{13}$
* Gọi $(\Delta_0)$ là tiếp tuyến của $(C)$ ứng với $m=-3+3\sqrt{13}$
* Bất phương trình $()$ có nghiệm $\forall x \in K=[-2;4] \Leftrightarrow (\Delta_m)$ không ở dưới $(\Delta_0)$
$\Leftrightarrow m \geq -3+3\sqrt{13}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời