Đề bài:
Cho hàm số $y = \frac{x^2 – x + 2}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Xác định tập hợp tất cả các điểm $N(x,y)$ có tọa độ thỏa mãn điều kiện $\left| y \right| \ge \frac{{{x^2} – x + 2}}{{x – 1}}$3) Biện luận theo $m$ số nghiệm $x \in \left[ {0;\pi } \right]$ của phương trình $\cos^2x – (m + 1)\cos x + m + 2 = 0$.
Bài giải:
$1)$ Viết lại hàm số đã cho dưới dạng
$y = x + \frac{2}{{x – 1}}$
Hàm số xác định với mọi $x \ne 1$. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận xiên $y = x$. Ta có
$y’ = 1 – \frac{2}{{{{(x – 1)}^2}}} = \frac{{{{(x – 1)}^2} – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
Bạn đọc vẽ bảng biến thiên và đồ thị hàm số
$2)$ Theo phần $1)$ với $x $ \Rightarrow $ tập các điểm $N(x,y)$ trong trường hợp này là phần mặt phẳng tạo độ với $x 1$ ta có
$\min y = 1 + 2\sqrt 2 > 0 \Rightarrow \left| y \right| \ge y{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y \ge \frac{{{x^2} – x + 2}}{{x – 1}}\\
y \le – \frac{{{x^2} – x + 2}}{{x – 1}}
\end{array} \right.$
Do đó tập các điểm $N(x,y)$ trong trường hợp này là 2 phần lõm của hypebol $ y$ đối xứng nhau qua trục $Ox$. Vậy toàn bộ tập các điểm $N(x,y)$ trên mặt phẳng tọa độ
3) Phương trình đã cho tương đương với
$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x – \cos x + 2 = m(\cos x – 1)$ $(1)$
Do $\cos x = 1$ không thỏa mãn (1) nên
(1) $ \Leftrightarrow \frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x – \cos x + 2}}{{\cos x – 1}} = m$ $(2)$
Đặt $t = \cos x,{\rm{ }} – 1 \le t $y(t) = \frac{{{t^2} – t + 2}}{{t – 1}} = m {\rm{ (}} – 1 \le t Ta có $y( – 1) = – 2$ và $y = m$ là đường thẳng song song với $Ox$.
Đồ thị $y(t)$ đã vẽ ở phần $1)$, từ đó ta có
$m > 1 – 2\sqrt 2 $ : (1) vô nghiệm
$m = 1 – 2\sqrt 2 $: (1) có $1$ nghiệm
$1 – 2\sqrt 2 \ge m \ge – 2$: $(1)$ có $2$ nghiệm;
$m
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời