Cho hàm số  $y = \frac{x^2 – x + 2}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Xác định tập hợp tất cả các điểm $N(x,y)$ có tọa độ thỏa mãn điều kiện $\left| y \right| \ge \frac{{{x^2} – x + 2}}{{x – 1}}$3) Biện luận theo $m$ số nghiệm $x \in \left[ {0;\pi } \right]$ của phương trình $\cos^2x – (m + 1)\cos x + m + 2 = 0$.

Đề bài:
Cho hàm số  $y = \frac{x^2 – x + 2}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Xác định tập hợp tất cả các điểm $N(x,y)$ có tọa độ thỏa mãn điều kiện $\left| y \right| \ge \frac{{{x^2} – x + 2}}{{x – 1}}$3) Biện luận theo $m$ số nghiệm $x \in \left[ {0;\pi } \right]$ của phương trình $\cos^2x – (m + 1)\cos x + m + 2 = 0$.
Bài giải:
$1)$ Viết lại hàm số đã cho dưới dạng
        $y = x + \frac{2}{{x – 1}}$
Hàm số xác định với mọi $x \ne 1$. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận xiên $y = x$. Ta có
        $y’ = 1 – \frac{2}{{{{(x – 1)}^2}}} = \frac{{{{(x – 1)}^2} – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
Bạn đọc vẽ bảng biến thiên và đồ thị hàm số

$2)$ Theo phần $1)$ với $x $ \Rightarrow $ tập các điểm $N(x,y)$ trong trường hợp này là phần mặt phẳng tạo độ với $x 1$ ta có
$\min y = 1 + 2\sqrt 2  > 0 \Rightarrow \left| y \right| \ge y{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y \ge \frac{{{x^2} – x + 2}}{{x – 1}}\\
y \le  – \frac{{{x^2} – x + 2}}{{x – 1}}
\end{array} \right.$
Do đó tập các điểm $N(x,y)$ trong trường hợp này là 2 phần lõm của hypebol $ y$ đối xứng nhau qua trục $Ox$. Vậy toàn bộ tập các điểm $N(x,y)$ trên mặt phẳng tọa độ
3) Phương trình đã cho tương đương với
    $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x – \cos x + 2 = m(\cos x – 1)$                        $(1)$
Do $\cos x = 1$ không thỏa mãn (1) nên
        (1) $ \Leftrightarrow \frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x – \cos x + 2}}{{\cos x – 1}} = m$                    $(2)$
Đặt $t = \cos x,{\rm{ }} – 1 \le t         $y(t) = \frac{{{t^2} – t + 2}}{{t – 1}} = m       {\rm{ (}} – 1 \le t Ta có $y( – 1) =  – 2$ và $y = m$ là đường thẳng song song với $Ox$.
Đồ thị $y(t)$ đã vẽ ở phần $1)$, từ đó ta có
$m > 1 – 2\sqrt 2 $ : (1) vô nghiệm
$m = 1 – 2\sqrt 2 $: (1) có $1$ nghiệm
$1 – 2\sqrt 2  \ge m \ge  – 2$: $(1)$ có $2$ nghiệm;
$m