Định a để bất phương trình sau có nghiệm:$\sqrt{ \left( 1+2x   \right) \left(  3-x  \right) }< a+2 x^{2} -5x+3(*)$

Đề bài:
Định a để bất phương trình sau có nghiệm:$\sqrt{ \left( 1+2x   \right) \left(  3-x  \right) }< a+2 x^{2} -5x+3(*)$ Bài giải:
Điều kiện: $ \left( 1+2x   \right) \left(  3-x  \right)  \geq 0 \Leftrightarrow – \frac{ 1}{2} \leq x \leq 3$
$(*) \Leftrightarrow \sqrt{ -2x^{2}+5x+3}Đặt: $\sqrt{ -2x^{2}+5x+3}=t, t \geq 0, $được bất phương trình $tCoi hàm số $t= \sqrt{ -2 x^{2} +5x +3}$ trên $[ \frac{ 1}{2}; 3]$
$t’= \frac{ -4x+5}{2 \sqrt{ -2 x^{2} +5x +3}}$
Bảng biến thiên hàm số của t:

Xét hàm số: $f(t)= t^{2}+t -6$ trên $[0 ; \frac{ 7}{2 \sqrt{ 2}}$
$f’(t)=2t+1:$

$f(\frac{ 7}{2 \sqrt{ 2}}= \left(\frac{ 7}{2 \sqrt{ 2}}    \right)^{2}+\left(\frac{ 7}{2 \sqrt{ 2}}    \right) -6=\frac{ 49}{8} +\left(\frac{ 7}{2 \sqrt{ 2}}    \right) -6=\frac{ 1}{8}+\left(\frac{ 7}{2 \sqrt{ 2}}    \right) $
$\Rightarrow -6 \leq t^{2}+t-6 \leq \frac{ 1}{8}+ \frac{ 7}{2 \sqrt{ 2}}$
Để bất phương trình có nghiệm thì: $a> \frac{ 1}{8}+ \frac{ 7}{2 \sqrt{ 2}}$