Giải bất phương trình  $\sqrt{x-1}+x-3\geqslant \sqrt{2(x-3)^2+2x-2}$

Đề bài:
Giải bất phương trình  $\sqrt{x-1}+x-3\geqslant \sqrt{2(x-3)^2+2x-2}$
Bài giải:
Điều kiện của nghiệm : $x \ge 1$
Xét bất phương trình
$\sqrt {x – 1}  + \left( {x – 3} \right) \ge \sqrt {2{{\left( {x – 3} \right)}^2} + 2{\rm{x  –  2}}} $
$ \Leftrightarrow \sqrt {x – 1}  + \left( {x – 3} \right) \ge \sqrt {2\left[ {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + \left( {x – 1} \right)} \right]} $                   $(1)$
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có
$\sqrt {x – 1}  + \left( {x – 3} \right) \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left[ {\left( {x – 1} \right) + {{\left( {x – 3} \right)}^2}} \right]} $        $(2)$
Dấu = xẩy ra khi $\sqrt {x – 1}  = x – 3$                                                $(3)$
Do $(2)$ nên $(1)$ $ \Leftrightarrow \sqrt {x – 1}  = x – 3$                                             $(4)$
Điều kiện của $(4)$ : $x \ge 3$. Từ đó $(4) \Leftrightarrow x – 1 = {\left( {x – 3} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} – 7{\rm{x  +  10  =  0}}$
$ \Leftrightarrow x = 2(
Đáp số : $x = 5$