Giải bất phương trình: $\sqrt{x^2-4x+3}-\sqrt{2x^2-3x+1} \geq x-1$

Đề bài:
  Giải bất phương trình: $\sqrt{x^2-4x+3}-\sqrt{2x^2-3x+1} \geq x-1$
Bài giải:
Giải
Điều kiện: $\begin{cases}x^2-4x+3 \geq 0 \\ 2x^2-3x+1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{array}{l}x \leq 1\\x\geq3 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l}x \leq \frac{1}{2}\\x\geq 1\end{array} \right. \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \leq \frac{1}{2}\\x=1 \\  x\geq 3\end{array} \right.$
   Với điều kiện trên bất phương trình đã cho tương đương:
       $\sqrt{x^2-4x+3}-\sqrt{2x^2-3x+1} \geq x-1$
    $\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(x-3)}-\sqrt{(x-1)(2x-1)} \geq \sqrt{(x-1)(x-1)}  (*)$
      Với $x=1$, hiển nhiên (*) đúng.
– Với $x\leq \frac{1}{2} \Rightarrow x-1  Bất phương trình (*) tương đương:
      $\sqrt{3-x}-\sqrt{1-2x}\geq -\sqrt{1-x} \Leftrightarrow \sqrt{3-x}+\sqrt{1-x}\geq \sqrt{1-2x}$
$\Leftrightarrow x-3-2x+1-2\sqrt{(x-3)(2x-1)} \geq x-1$
$\Leftrightarrow -2x-1\geq 2\sqrt{(x-3)(2x-1)}$ vô nghiệm (do vế trái âm)
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x=1$ hoặc $x\leq \frac{1}{2}$