Đề bài:
Giải bất phương trình:$\frac{1}{y}-\frac{1}{1+y}+\frac{1}{2+y}-\frac{1}{3+y}-\frac{1}{4+y}+\frac{1}{5+y}-\frac{1}{6+y}+\frac{1}{7+y}>0$
Bài giải:
Ta viết bất phương trình đã cho dưới dạng tương đương sau:
$\frac{2y+7}{y(y+7)}-\frac{2y+7}{(y+1)(y+6)}+\frac{2y+7}{(y+2)(y+5)}-\frac{2y+7}{(y+3)(y+4)}>0$
hay $(2y+7)(\frac{1}{y^2+7y}-\frac{1}{y^2+7y+6}+\frac{1}{y^2+7y+10}-\frac{1}{y^2+7y+12}>0$
Cộng các phân thức theo cặp trong dấu ngoặc ta được:
$(2y+7)(\frac{3}{(y^2+7y)(y^2+7y+6)}+\frac{1}{(y^2+7y+10)(x^2+7y+12)}>0$
Đặt: $t=y^2+7y$ ta có
$\frac{3}{(y^2+7y)(y^2+7y+6)}+\frac{1}{(y^2+7y+10)(x^2+7y+12)} = \frac{3}{t(t+6)}+\frac{1}{(t+10)(t+12)} $
$=\frac{4t^2+72t+360}{t(t+1)(t+10)(t+12)} $
Ta có $4t^2+72t+360>0 \forall t$
Vậy bất phương trình tương đương với:
$\frac{2y+7}{y(y+1)(y+2)(y+3)(y+4)(y+5)(y+6)(y+7)}>0$
Tức là
$y(y+1)(y+2)(y+3)(y+\frac{7}{2})(y+4)(y+5)(y+6)(y+7)>0$
Sử dụng phương pháp khoảng xét dấu VT ta có:
Ta được tập nghiệm của bất phương trình:
$S=(-7;-6)\cup (-5;-4)\cup (-\frac{7}{2};-3)\cup (-2;-1)\cup (0;+\infty )$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời