Giải bất phương trình:$\frac{1}{y}-\frac{1}{1+y}+\frac{1}{2+y}-\frac{1}{3+y}-\frac{1}{4+y}+\frac{1}{5+y}-\frac{1}{6+y}+\frac{1}{7+y}>0$

Đề bài:
Giải bất phương trình:$\frac{1}{y}-\frac{1}{1+y}+\frac{1}{2+y}-\frac{1}{3+y}-\frac{1}{4+y}+\frac{1}{5+y}-\frac{1}{6+y}+\frac{1}{7+y}>0$
Bài giải:
Ta viết bất phương trình đã cho dưới dạng tương đương sau:
$\frac{2y+7}{y(y+7)}-\frac{2y+7}{(y+1)(y+6)}+\frac{2y+7}{(y+2)(y+5)}-\frac{2y+7}{(y+3)(y+4)}>0$
hay $(2y+7)(\frac{1}{y^2+7y}-\frac{1}{y^2+7y+6}+\frac{1}{y^2+7y+10}-\frac{1}{y^2+7y+12}>0$
Cộng các phân thức theo cặp trong dấu ngoặc ta được:
$(2y+7)(\frac{3}{(y^2+7y)(y^2+7y+6)}+\frac{1}{(y^2+7y+10)(x^2+7y+12)}>0$
Đặt: $t=y^2+7y$ ta có
$\frac{3}{(y^2+7y)(y^2+7y+6)}+\frac{1}{(y^2+7y+10)(x^2+7y+12)} = \frac{3}{t(t+6)}+\frac{1}{(t+10)(t+12)}  $
$=\frac{4t^2+72t+360}{t(t+1)(t+10)(t+12)} $
Ta có $4t^2+72t+360>0 \forall t$
Vậy bất phương trình tương đương với:

$\frac{2y+7}{y(y+1)(y+2)(y+3)(y+4)(y+5)(y+6)(y+7)}>0$
Tức là 
$y(y+1)(y+2)(y+3)(y+\frac{7}{2})(y+4)(y+5)(y+6)(y+7)>0$
Sử dụng phương pháp khoảng xét dấu VT ta có:

Ta được tập nghiệm của bất phương trình:
$S=(-7;-6)\cup (-5;-4)\cup (-\frac{7}{2};-3)\cup (-2;-1)\cup (0;+\infty )$