Giải bất phương trình$\sqrt{ 2 \left(  x+2  \right) }- 2 \sqrt{ 2-x} > \frac{ 12x-8}{ \sqrt{ 9 x^{2} +16}}(*)$

Đề bài:
Giải bất phương trình$\sqrt{ 2 \left(  x+2  \right) }- 2 \sqrt{ 2-x} > \frac{ 12x-8}{ \sqrt{ 9 x^{2} +16}}(*)$
Bài giải:
Điều kiện: $-2 \leq x \leq 2$
$12x-8 = 2 [2x+4 – 4 \left( 2-x   \right) ]$
$(*) \Leftrightarrow \left(\sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}- 2 \sqrt{ 2-x}   \right) > \frac{2 [  (\sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}+ 2 \sqrt{ 2-x}].[(\sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}- 2 \sqrt{ 2-x} ]}{ \sqrt{ 9 x^{2} +16}}$
$\Leftrightarrow \left(\sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}- 2 \sqrt{ 2-x}   \right) [1- \frac{ 2 \left(   x+2 \right)+2 \sqrt{ 2-x} }{ \sqrt{ 9 x^{2} +16}}$$>0$
$\Leftrightarrow \left(\sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}+ 2 \sqrt{ 2-x}   \right) \left(\sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}- 2 \sqrt{ 2-x}\right)[\left(  \sqrt{ 9 x^{2} +16}-2 \sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}+2 \sqrt{ 2-x}  \right)]$
$>0$
$\Leftrightarrow [ 2x+4-4 \left( 2-x   \right)]. [\left(  \sqrt{ 9 x^{2} +16}-2 \sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}+2 \sqrt{ 2-x}  \right)] [$
$\left(  \sqrt{ 9 x^{2} +16}+2 \sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}+2 \sqrt{ 2-x}  \right)]>0 $
$\Leftrightarrow \left( 6x-4   \right) [ 9 x^{2} +16-4 \left(  2x+4 +4 \left( 2-x   \right) + 4 \sqrt{ \left(  2x+4  \right)} \left(  2-x  \right)  \right)]>0 $
$\Leftrightarrow \left( 3x-2   \right) [ 9 x^{2} +8x-16 \left( 8-2 x^{2}    \right)+2]>0  $
$\Leftrightarrow \left( 3x-2   \right) [ x^{2} + 2x \sqrt{ 8-2 x^{2} }+8x – 2x \sqrt{ 8-2 x^{2} }-4 \left(   8-2 x^{2}  \right)-16 \sqrt{ 8-2 x^{2} }]>0 $
$\Leftrightarrow \left( 3x-2   \right) [ x \left(x +2 \sqrt{ 8-2 x^{2} }+8    \right) -2 \sqrt{ 8-2 x^{2} }. X \left(  x +2 \sqrt{ 8-2 x^{2} }+8      \right) >0$
$\Leftrightarrow \left( 3x-2   \right) \left(   x+8+2 \sqrt{ 8-2 x^{2} } \right) \left( x-2 \sqrt{ 8-2 x^{2} }   \right)>0 $
$\Leftrightarrow \left(3x-2    \right) \left(  x- \sqrt{  8-2 x^{2} } \right)>0 $
Xét dấu $(  x- \sqrt{  8-2 x^{2} } $ trên $[-2; 2]$
Nếu $x \in [-2; 0] \Rightarrow  x- \sqrt{  8-2 x^{2} } Nếu $x  \in [0;2] \Rightarrow $ dấu của $  x- \sqrt{  8-2 x^{2} } $ là dấu của tích
$\left(     x- \sqrt{  8-2 x^{2} }  \right) \left(x+\sqrt{  8-2 x^{2} }    \right) = x^{2} -4 \left( 8-2 x^{2}    \right) =9 x^{2} -32 $
Tam thức này có dấu “-“ nếu $x \in [0; \frac{ 4 \sqrt{ 2}}{3}]$, có dấu “+” nếu $x \in [\frac{ 4 \sqrt{ 2}}{3}; 2]$
$\Rightarrow $ nghiệm của bất phương trình : $-2 \leq x