Đề bài:
Giải bất phương trình$\sqrt{ 2 \left( x+2 \right) }- 2 \sqrt{ 2-x} > \frac{ 12x-8}{ \sqrt{ 9 x^{2} +16}}(*)$
Bài giải:
Điều kiện: $-2 \leq x \leq 2$
$12x-8 = 2 [2x+4 – 4 \left( 2-x \right) ]$
$(*) \Leftrightarrow \left(\sqrt{ 2 \left( x+2 \right)}- 2 \sqrt{ 2-x} \right) > \frac{2 [ (\sqrt{ 2 \left( x+2 \right)}+ 2 \sqrt{ 2-x}].[(\sqrt{ 2 \left( x+2 \right)}- 2 \sqrt{ 2-x} ]}{ \sqrt{ 9 x^{2} +16}}$
$\Leftrightarrow \left(\sqrt{ 2 \left( x+2 \right)}- 2 \sqrt{ 2-x} \right) [1- \frac{ 2 \left( x+2 \right)+2 \sqrt{ 2-x} }{ \sqrt{ 9 x^{2} +16}}$$>0$
$\Leftrightarrow \left(\sqrt{ 2 \left( x+2 \right)}+ 2 \sqrt{ 2-x} \right) \left(\sqrt{ 2 \left( x+2 \right)}- 2 \sqrt{ 2-x}\right)[\left( \sqrt{ 9 x^{2} +16}-2 \sqrt{ 2 \left( x+2 \right)}+2 \sqrt{ 2-x} \right)]$
$>0$
$\Leftrightarrow [ 2x+4-4 \left( 2-x \right)]. [\left( \sqrt{ 9 x^{2} +16}-2 \sqrt{ 2 \left( x+2 \right)}+2 \sqrt{ 2-x} \right)] [$
$\left( \sqrt{ 9 x^{2} +16}+2 \sqrt{ 2 \left( x+2 \right)}+2 \sqrt{ 2-x} \right)]>0 $
$\Leftrightarrow \left( 6x-4 \right) [ 9 x^{2} +16-4 \left( 2x+4 +4 \left( 2-x \right) + 4 \sqrt{ \left( 2x+4 \right)} \left( 2-x \right) \right)]>0 $
$\Leftrightarrow \left( 3x-2 \right) [ 9 x^{2} +8x-16 \left( 8-2 x^{2} \right)+2]>0 $
$\Leftrightarrow \left( 3x-2 \right) [ x^{2} + 2x \sqrt{ 8-2 x^{2} }+8x – 2x \sqrt{ 8-2 x^{2} }-4 \left( 8-2 x^{2} \right)-16 \sqrt{ 8-2 x^{2} }]>0 $
$\Leftrightarrow \left( 3x-2 \right) [ x \left(x +2 \sqrt{ 8-2 x^{2} }+8 \right) -2 \sqrt{ 8-2 x^{2} }. X \left( x +2 \sqrt{ 8-2 x^{2} }+8 \right) >0$
$\Leftrightarrow \left( 3x-2 \right) \left( x+8+2 \sqrt{ 8-2 x^{2} } \right) \left( x-2 \sqrt{ 8-2 x^{2} } \right)>0 $
$\Leftrightarrow \left(3x-2 \right) \left( x- \sqrt{ 8-2 x^{2} } \right)>0 $
Xét dấu $( x- \sqrt{ 8-2 x^{2} } $ trên $[-2; 2]$
Nếu $x \in [-2; 0] \Rightarrow x- \sqrt{ 8-2 x^{2} } Nếu $x \in [0;2] \Rightarrow $ dấu của $ x- \sqrt{ 8-2 x^{2} } $ là dấu của tích
$\left( x- \sqrt{ 8-2 x^{2} } \right) \left(x+\sqrt{ 8-2 x^{2} } \right) = x^{2} -4 \left( 8-2 x^{2} \right) =9 x^{2} -32 $
Tam thức này có dấu “-“ nếu $x \in [0; \frac{ 4 \sqrt{ 2}}{3}]$, có dấu “+” nếu $x \in [\frac{ 4 \sqrt{ 2}}{3}; 2]$
$\Rightarrow $ nghiệm của bất phương trình : $-2 \leq x
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời