Giải các bất phương trình :$\begin{array}{l}1)\,\,\sqrt {2.\left( {{5^x} + 24} \right)}  – \sqrt {\left( {{5^x} – 7} \right)}  \ge \sqrt {\left( {{5^x} + 7} \right)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2)\,\,\sqrt {{{13}^x} – 5}  \le \sqrt {2\left( {{{13}^x} + 12} \right)}  – \sqrt {{{13}^x} + 5} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}$

Đề bài:
Giải các bất phương trình :$\begin{array}{l}1)\,\,\sqrt {2.\left( {{5^x} + 24} \right)}  – \sqrt {\left( {{5^x} – 7} \right)}  \ge \sqrt {\left( {{5^x} + 7} \right)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2)\,\,\sqrt {{{13}^x} – 5}  \le \sqrt {2\left( {{{13}^x} + 12} \right)}  – \sqrt {{{13}^x} + 5} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}$
Bài giải:
$1)$   
Điều kiện ${5^x} – 7 \ge 0$$ \Leftrightarrow x \ge {\log _5}7$
Khi đó BPT đã cho tương đương
${2(5^x+24)}\geq \left ( \sqrt{5^x-7} + \sqrt{5^x+7}\right )^2$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2.\left( {{5^x} + 24} \right) \ge \left( {{5^x} – 7} \right) + \left( {{5^x} + 7} \right) + 2\sqrt {{5^{2x}} – 49} \\
\Leftrightarrow \sqrt {{5^{2x}} – 49}\leq 24\\
\Leftrightarrow {5^{2x}} \le 625=5^4\\
\Leftrightarrow 2x\leq 4\Leftrightarrow x\leq 2
\end{array}$
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm BPT là:
 ${\log _5}7 \le x \le 2$

$2)$
Điều kiện: $13^x-5\geq 0\Rightarrow x\geq \log_{13}5$
Khi đó BPT đã cho tương đương
${2(13^x+12)}\geq \left ( \sqrt{13^x+5} +\sqrt{13^x-5}\right )^2$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow
2.\left( {{13^x} + 12} \right) \ge \left( {{13^x} + 5} \right) + \left(
{{13^x} – 5} \right) + 2\sqrt {{13^{2x}} – 25} \\
\Leftrightarrow \sqrt {{13^{2x}} – 25}\leq 12\\
\Leftrightarrow {13^{2x}} \le 169=13^2\\
\Leftrightarrow 2x\leq 2\Leftrightarrow x\leq 1
\end{array}$
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm BPT là:
 ${\log _{13}}5 \le x \le 1$