Đề bài:
Giải và biện luận bất phương trình sau theo $m$:a) $(m^2+1)x^2-2(m+1)x+1>0$ b) $\frac{3x-m}{3-x}>1$
Bài giải:
Giải
a) $f(x)=(m^2+1)x^2-2(m+1)x+1>0$
$a=m^2+1>0 \forall m, \Delta’=2m$
* $m0 \\ \Delta’0, \forall x$.
Vậy phương trình có tập nghiệm là $R$.
* $m=0: \begin{cases}a>0 \\ \Delta’=0 \end{cases} \Rightarrow f(x)$ có nghiệm kép $x=\frac{m+1}{m^2+1}=1 \Rightarrow f(x)\geq 0, \forall x$
Vậy bất phương trình có nghiệm $x\neq 1$.
( Có thể thế $m=0$ và giải trực tiếp :
$ x^2-2x+1>0 \Leftrightarrow (x-1)^2>0 \Leftrightarrow x\neq 1).$
* $m>0 : \begin{cases}a>0 \\ \Delta’>0 \end{cases} \Rightarrow f(x)$ có hai nghiệm:
$x_1=\frac{m+1-\sqrt{m}}{m^2}+1, x_2=\frac{m+1+\sqrt{m}}{m^2}+1 (x_1
* Kết luận: $m0$
$x
b) $\frac{3x-m}{3-x}>1 \Leftrightarrow \frac{3x-m}{3-x}-1>0 \Leftrightarrow \frac{4x-m-3}{-x+3}>0$
Ta có: $4x-m-3=0 \Leftrightarrow x_1=\frac{m+3}{4}$ và $-x+3=0 \Leftrightarrow x_2=3$
Dấu của vế trái là dấu của tam thức $(4x-m-3)(-x+3)$ với hệ số.
$a=-4Do đó bất phương trình thỏa mãn với mọi $x\in $ khoảng giữa hai nghiệm, (nếu có).
Ta xét các trường hợp sau:
* $x_1
Kết luận $m9 : 3
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời