Đề bài:
Giaỉ và biện luận bất phương trình $\sqrt x – \sqrt {x – 1} > a$ với $a$ là tham số dương
Bài giải:
Điều kiện của nghiệm : ${\rm{x }} \ge {\rm{1}}$.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
$\left( {\sqrt x – \sqrt {x – 1} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x – 1} } \right) > a\left( {\sqrt x + \sqrt {x – 1} } \right)$
$ \Leftrightarrow 1 > a\left( {\sqrt x + \sqrt {x – 1} } \right)$
$ \Leftrightarrow 1 > {a^2}\left( {2{\rm{x – 1 + 2}}\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ – x}}} } \right)$
$ \Leftrightarrow 1 + {a^2} – 2{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{x > 2}}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ }}\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ – x}}} (1)$
a) $1 + {a^2} – 2{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{x }} \le {\rm{0 }} \Leftrightarrow \frac{{{\rm{1 + }}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2}}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}} \le x$ . Do $x \ge 1 \Rightarrow \frac{{1 + {a^2}}}{{2{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}} \le 1$
$ \Leftrightarrow 1 \le {a^2} \Leftrightarrow a \ge 1$ ( do $a > 0$) : $(1)$ vô nghiệm
b) $1 + {a^2} – 2{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{x > 0 }} \Leftrightarrow {\rm{ 0 khi đó $(1)$ $ \Leftrightarrow \left( {1 + {a^2} – 2{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right) > 4{{\rm{a}}^{\rm{2}}}\left( {{x^2} – x} \right)$
$ \Leftrightarrow {\left( {1 + {a^2}} \right)^2} > 4{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{x }} \Leftrightarrow {\rm{ 1 }} \le {\rm{x }} \le {\rm{ }}{\left( {\frac{{{\rm{1 + }}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2a}}}}} \right)^2}$
Đáp số : $0 $a \ge 1$: bất phương trình vô nghiệm
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời