Đề bài:
Giải và biện luận bất phương trình theo tham số $m$: $mx^2-(m+1)x+2\geq 0 (1)$
Bài giải:
$$mx^2-(m+1)x+2\geq 0 (1).$$
* Nếu $m=0$ bất phương trình (1) trở thành bất phương trình bậc nhất $-x+2\geq 0$. Tập nghiệm $S=(-\infty;2]$
* Nếu $m\neq 0, f(x)=mx^2-(m+1)x+2$ có biệt thức
$$\Delta=(m+1)^2-8m=0\Leftrightarrow m=3\pm \sqrt{8}$$
Bảng xét dấu của $\Delta$ theo giá trị của m như sau:
* Nếu $m0$
$f(x)=0\Leftrightarrow x=x_1=\frac{m+1-\sqrt{\Delta}}{2m}$ hoặc $x=x_2=\frac{m+1+\sqrt{\Delta}}{2m}$
Tập nghiệm của (1) là: $S=[\frac{m+1-\sqrt{\Delta}}{2m};\frac{m+1+\sqrt{\Delta}}{2m}]$
* Nếu $0
Tập nghiệm của (1) là $S=(-\infty;\frac{m+1-\sqrt{\Delta}}{2m}]\bigcup [\frac{m+1+\sqrt{\Delta}}{2m};+\infty)$
* Nếu $3-\sqrt{8} \leq m \leq 3+\sqrt{8}$ thì $\Delta\leq 0, f(x)\geq 0 \forall x\in R$
Tập nghiệm của (1) là $S=R$.
Kết luận:
* m=0, BPT đã cho có tập nghiệm
$S=(-\infty;2]$
* m* $\left[ \begin{array}{l} 0
$S=(-\infty;\frac{m+1-\sqrt{\Delta}}{2m}]\bigcup [\frac{m+1+\sqrt{\Delta}}{2m};+\infty)$
* $3-\sqrt8\leq m\leq 3+\sqrt8$ BPT đã cho có tập nghiệm S=R.
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời