Giải và biện luận phương trình sau theo tham số $a$:    ${\log _x}a + {\log _a}x + 2cosa \le 0$

Đề bài:
Giải và biện luận phương trình sau theo tham số $a$:    ${\log _x}a + {\log _a}x + 2cosa \le 0$
Bài giải:
Điều kiện : ${\rm{ a > 0; a }} \ne {\rm{1 ; x  > 0 , x }} \ne {\rm{1}}$
Ta có ${\log _x}a = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}$ nên bất phương trình đã cho tương đương với:
        ${\log _a}x + \frac{1}{{{{\log }_a}x}} + 2c{\rm{os}}\alpha  \le {\rm{0}}$            $(1)$
a) ${\log _a}x > 0 \Leftrightarrow {\log _a}x + \frac{1}{{{{\log }_a}x}} \ge 2$ và do $\left| {c{\rm{osa}}} \right| \le 1$ nên
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _a}x + \frac{1}{{{{\log }_a}x}} = 2\\
c{\rm{osa  =   – 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _a}x = 1\\
a = \left( {2k + 1} \right)\pi ,k = 0,1,2….
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow x = a = \left( {2k + 1} \right)\pi ,k = 0,1,2…..$

b) ${\log _a}x     ${\log _a}x 0 1\\
a > 1:0 \end{array} \right.$

Đáp số : 
        $a \le 0,a = 1:$ $(1)$ vô nghiệm
        $0 1$
        $a > 1:(1)$ có nghiệm $0