Đề bài:
Giải và biện luận theo $a$ bất phương trình $\sqrt {a + x} + \sqrt {a – x} > a$
Bài giải:
Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
a + x \ge 0 \\
a – x \ge 0
\end{array} \right. (1) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – a (2)\\
x \le a (3)
\end{array} \right.$
Nếu $a Nếu $a = 0$: $(2) , (3)$ $ \Leftrightarrow x = 0$, mặt khác lúc đó $(1)$ có dạng $\sqrt x + \sqrt { – x} > 0$ không thỏa mãn với $x = 0$. Vậy $(1)$ vô nghiệm
Nếu $a > 0$ : $(2) , (3)$ $ \Leftrightarrow – a \le x \le a$ $(4)$
Hai vế của $(1)$ đều $ \ge 0$ nên bình phương hai vế ta được:
$(1)$ $ \Leftrightarrow 2{\rm{a + 2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ – }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}} > {a^2} \Leftrightarrow {\rm{2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ – }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}} > a(a – 2)$ $(5)$
Trường hợp $0 Trường hợp $a \ge 2$ : $2$ vế của $(5)$ đều $ \ge 0$, bình phương hai vế ta được
$(5)$ $4\left( {{a^2} – {x^2}} \right) > {a^2}{\left( {a – 2} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} Nếu $a \ge 4$ : $(6)$ vô nghiệm
Nếu $2 \le a Chỉ lấy được những nghiệm thõa mãn $(4)$
Phải so sánh $\frac{a}{2}\sqrt {a\left( {4 – a} \right)} $ và $a$ (với $2 \le a Giả sử $\frac{a}{2}\sqrt {a\left( {4 – a} \right)} \le a \Leftrightarrow \sqrt {a\left( {4 – a} \right)} \le 2 \Leftrightarrow a\left( {4 – a} \right) \le 4$
$ \Leftrightarrow {a^{\rm{2}}} – 4{\rm{a + 4 }} \ge {\rm{0}}$: đúng. Vậy các nghiệm ở $(7)$ đều thỏa mãn $(4)$
Kết luận :
$a \le 0$ : $(1)$ vô nghiệm
$0 $2 \le a \le 4$ : $(1)$ có nghiệm là $\left| x \right| $a \ge 4$: $(1)$ vô nghiệm
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời