Giải và biện luận theo $a$ bất phương trình $\sqrt {a + x}  + \sqrt {a – x}  > a$

Đề bài:
Giải và biện luận theo $a$ bất phương trình $\sqrt {a + x}  + \sqrt {a – x}  > a$
Bài giải:
Điều kiện    $\left\{ \begin{array}{l}
a + x \ge 0 \\
a – x \ge 0
\end{array} \right.       (1)      \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – a          (2)\\
x \le a                     (3)
\end{array} \right.$
Nếu $a Nếu $a = 0$: $(2) , (3)$ $ \Leftrightarrow x = 0$, mặt khác lúc đó  $(1)$ có dạng $\sqrt x  + \sqrt { – x}  > 0$ không thỏa mãn với $x = 0$. Vậy $(1)$ vô nghiệm
Nếu $a > 0$ : $(2) , (3)$ $ \Leftrightarrow  – a \le x \le a$                    $(4)$
Hai vế của $(1)$ đều $ \ge 0$ nên bình phương hai vế ta được:
    $(1)$ $ \Leftrightarrow 2{\rm{a  +  2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{  –  }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}  > {a^2} \Leftrightarrow {\rm{2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{  –  }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}  > a(a – 2)$        $(5)$
Trường hợp $0 Trường hợp $a \ge 2$ : $2$ vế của  $(5)$ đều $ \ge 0$, bình phương hai vế ta được
    $(5)$ $4\left( {{a^2} – {x^2}} \right) > {a^2}{\left( {a – 2} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} Nếu $a \ge 4$ : $(6)$ vô nghiệm
Nếu $2 \le a Chỉ lấy được những nghiệm thõa mãn $(4)$

Phải so sánh $\frac{a}{2}\sqrt {a\left( {4 – a} \right)} $ và $a$   (với $2 \le a Giả sử $\frac{a}{2}\sqrt {a\left( {4 – a} \right)}  \le a \Leftrightarrow \sqrt {a\left( {4 – a} \right)}  \le 2 \Leftrightarrow a\left( {4 – a} \right) \le 4$
$ \Leftrightarrow {a^{\rm{2}}} – 4{\rm{a  +  4 }} \ge {\rm{0}}$: đúng. Vậy các nghiệm ở $(7)$ đều thỏa mãn $(4)$

Kết luận :    
        $a \le 0$ : $(1)$ vô nghiệm
        $0         $2 \le a \le 4$ : $(1)$ có nghiệm là $\left| x \right|         $a \ge 4$: $(1)$ vô nghiệm