Tìm $a$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi $x$ : $x^4+ax^3-(2a+1)x^2+ax+1>0   (1)$

Đề bài:
Tìm $a$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi $x$ : $x^4+ax^3-(2a+1)x^2+ax+1>0   (1)$
Bài giải:
Vì $x = 0$ thỏa mãn $( 1 )$ nên ta xét $x \ne 0$, khi đó $(1)$ tương đương với
    ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + a\left( {x + \frac{1}{x}} \right) – (2{{a  + 1)  >  0 , }}\forall {{x }} \ne {{ 0}}$                $(2)$
Đặt ${{t  =  }}x + \frac{1}{x},\left| t \right| \ge 2$, khi đó  $(2)$ trở thành:
    $f(t) = {t^2} + at – (2{{a  +  3)  >  0, }}\left| {{t}} \right| \ge 2$                    $(3)$
Vế trái có $\Delta  = {a^2} + 4(2{{a  +  3)  =  (a  +  2) (a  +  6)}}$
$(2)$ thỏa mãn với mọi $x \ne 0 \Leftrightarrow $ $(3)$ thỏa mãn với mọi t : $\left| t \right| \ge 2$

Xét các trường hợp sau:
+)      $\Delta  0,\forall t $
$\Rightarrow (3)$ luôn thỏa mãn $\Delta  = 0 \Leftrightarrow a =- 6,a =- 2$
Với $a = – 6$, hoành độ đỉnh của parabon $f(t)$ là ${t_o} = \frac{{ – a}}{2} = 3$, khi đó $f({t_o}) = 0 $
$\Rightarrow (3)$ không thỏa mãn.
Với $a = – 2,{t_o} = – \frac{a}{2} = 1$ , $f(0) = 0 \Rightarrow (3)$ luôn thỏa mãn.
+)      $\Delta  > 0 \Leftrightarrow a – 2$ $(4)$. Để $(3)$ luôn thỏa mãn cần có thêm điều kiện:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{t_o}} \right| = \frac{{\left| a \right|}}{2} f( – 2) > 0\\
f(2) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 f( – 2) =  – 4{{a  +  1  >  0 }} \Leftrightarrow {{  – 4  {{f(2)   =  1  >  0}}
\end{array} \right.$
Kết hợp $(4)$ ta có $ – 2
Kết luận : $a$ cần tìm là $ – 6