Đề bài:
Tìm $a$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi $x$ : $x^4+ax^3-(2a+1)x^2+ax+1>0 (1)$
Bài giải:
Vì $x = 0$ thỏa mãn $( 1 )$ nên ta xét $x \ne 0$, khi đó $(1)$ tương đương với
${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + a\left( {x + \frac{1}{x}} \right) – (2{{a + 1) > 0 , }}\forall {{x }} \ne {{ 0}}$ $(2)$
Đặt ${{t = }}x + \frac{1}{x},\left| t \right| \ge 2$, khi đó $(2)$ trở thành:
$f(t) = {t^2} + at – (2{{a + 3) > 0, }}\left| {{t}} \right| \ge 2$ $(3)$
Vế trái có $\Delta = {a^2} + 4(2{{a + 3) = (a + 2) (a + 6)}}$
$(2)$ thỏa mãn với mọi $x \ne 0 \Leftrightarrow $ $(3)$ thỏa mãn với mọi t : $\left| t \right| \ge 2$
Xét các trường hợp sau:
+) $\Delta 0,\forall t $
$\Rightarrow (3)$ luôn thỏa mãn $\Delta = 0 \Leftrightarrow a =- 6,a =- 2$
Với $a = – 6$, hoành độ đỉnh của parabon $f(t)$ là ${t_o} = \frac{{ – a}}{2} = 3$, khi đó $f({t_o}) = 0 $
$\Rightarrow (3)$ không thỏa mãn.
Với $a = – 2,{t_o} = – \frac{a}{2} = 1$ , $f(0) = 0 \Rightarrow (3)$ luôn thỏa mãn.
+) $\Delta > 0 \Leftrightarrow a – 2$ $(4)$. Để $(3)$ luôn thỏa mãn cần có thêm điều kiện:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{t_o}} \right| = \frac{{\left| a \right|}}{2} f( – 2) > 0\\
f(2) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 f( – 2) = – 4{{a + 1 > 0 }} \Leftrightarrow {{ – 4 {{f(2) = 1 > 0}}
\end{array} \right.$
Kết hợp $(4)$ ta có $ – 2
Kết luận : $a$ cần tìm là $ – 6
Trả lời