Đề bài:
Tìm các giá trị của $a$ để bất phương trình : $\log _{\frac{1}{a}}\left( {\sqrt {x^2+ ax + 5} + 1} \right).{\log _5}\left( {x^2 + ax + 6} \right) + {\log _a}3 \ge 0$có nghiệm duy nhất.
Bài giải:
Với $\begin{array}{l}
a > 0,\,\,\,a \ne 1,\,\,{x^2} + ax + 5 \ge 0\\
\end{array}$
$(1) \Leftrightarrow {\log _a}3\left( { – {{\log }_3}\sqrt {{x^2} + ax + 5} + 1} \right).{\log _5}\left( {{x^2} + ax + 6} \right) + 1) \ge 0$
Xét các trường hợp sau:
$1)\,0 Đặt $u = {x^2} + ax + 5,\,\,\,\,\,u \ge 0,$
$f(u)={\log _3}\left( {\sqrt u + 1} \right){\log _5}\left( {u + 1} \right) \ge 1$
Ta có $f(4) = {\log _3}3.{\log _5}5 = 1$
$f(u)$là hàm tăng nên $u \ge 4\,\,\,\, \Rightarrow f(u) \ge 1$
${x^2} + ax + 5 \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} + ax + 1 \ge 0$
Vì $0 Bất phương trình không thỏa với $\forall x$
$\begin{array}{l}
2)\,a > 1:\,\,\,\,{\log _3}\left( {\sqrt u + 1} \right){\log _5}\left( {u + 1} \right) \le 1\\
\,\,\,\,f(u) \le 1 \Rightarrow 0 \le u \le 4
\end{array}$
Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + ax + 5 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(a)\\
{x^2} + ax + 1 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(b)
\end{array} \right.$
Xét $(b)$: $\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {a^2} – 4\\
a > 1
\end{array} \right.$
$a > 2:\,\,\,\,{x^2} + ax + 1$ có $2$ nghiệm
${x_1} = \frac{{ – a – \sqrt {{a^2} – 4} }}{2};{x_2} = \frac{{ – a + \sqrt {{a^2} – 4} }}{2}$
Suy ra $(a)$ $ \Leftrightarrow x_1^2 + a{x_1} + 5 = x_1^2 + a{x_1} + 1 + 4 = 4 > 0$
Tương tự $x_2^2 + a{x_2} + 5 > 0 \Rightarrow $với $a > 2$ thì bất phương trình không có nghiệm duy nhất.
Với $a = 2$ ta có $x = – 1$
Vậy với $a = 2$ thì bất phương trình có $1$ nghiệm duy nhất $x = – 1$.
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời