Tìm các giá trị của $a$ để bất phương trình :   $\log _{\frac{1}{a}}\left( {\sqrt {x^2+ ax + 5}  + 1} \right).{\log _5}\left( {x^2 + ax + 6} \right) + {\log _a}3 \ge 0$có nghiệm duy nhất.

Đề bài:
Tìm các giá trị của $a$ để bất phương trình :   $\log _{\frac{1}{a}}\left( {\sqrt {x^2+ ax + 5}  + 1} \right).{\log _5}\left( {x^2 + ax + 6} \right) + {\log _a}3 \ge 0$có nghiệm duy nhất.
Bài giải:
Với $\begin{array}{l}
a > 0,\,\,\,a \ne 1,\,\,{x^2} + ax + 5 \ge 0\\
\end{array}$
$(1) \Leftrightarrow {\log _a}3\left( { – {{\log }_3}\sqrt {{x^2} + ax + 5}  + 1} \right).{\log _5}\left( {{x^2} + ax + 6} \right) + 1) \ge 0$
Xét các trường hợp sau:

$1)\,0 Đặt  $u = {x^2} + ax + 5,\,\,\,\,\,u \ge 0,$
      $f(u)={\log _3}\left( {\sqrt u  + 1} \right){\log _5}\left( {u + 1} \right) \ge 1$
Ta có   $f(4) = {\log _3}3.{\log _5}5 = 1$
$f(u)$là hàm tăng nên $u \ge 4\,\,\,\, \Rightarrow f(u) \ge 1$
        ${x^2} + ax + 5 \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} + ax + 1 \ge 0$
Vì $0 Bất phương trình không thỏa với $\forall x$

$\begin{array}{l}
2)\,a > 1:\,\,\,\,{\log _3}\left( {\sqrt u  + 1} \right){\log _5}\left( {u + 1} \right) \le 1\\
\,\,\,\,f(u) \le 1 \Rightarrow 0 \le u \le 4
\end{array}$
Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + ax + 5 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(a)\\
{x^2} + ax + 1 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(b)
\end{array} \right.$
Xét $(b)$: $\left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = {a^2} – 4\\
a > 1
\end{array} \right.$
  $a > 2:\,\,\,\,{x^2} + ax + 1$ có $2$ nghiệm
               ${x_1} = \frac{{ – a – \sqrt {{a^2} – 4} }}{2};{x_2} = \frac{{ – a + \sqrt {{a^2} – 4} }}{2}$
Suy ra $(a)$ $ \Leftrightarrow x_1^2 + a{x_1} + 5 = x_1^2 + a{x_1} + 1 + 4 = 4 > 0$
Tương tự $x_2^2 + a{x_2} + 5 > 0 \Rightarrow $với $a > 2$ thì bất phương trình không có nghiệm duy nhất.
Với $a = 2$ ta có $x =  – 1$

Vậy với $a = 2$ thì bất phương trình  có $1$ nghiệm duy nhất $x =  – 1$.