Đề bài:
Tìm các giá trị của $a$ sao cho bất phương trình: $\frac{{\log_3 a{x^2}}}{{{{\log }_3}\left( {{x^2} + 1} \right)}} \ge 2\,\,\,\,\,(1)$ có nghiệm.
Bài giải:
$x \ne \,\,0,\,\,\,\,\,a > 0\,\,\,\,\,\,\,(*)$
$(1)$$ \Leftrightarrow \,\,\,{\log _{{x^2} + 1}}a{x^2} \ge 2$
$ \Leftrightarrow \,\,a{x^2} \ge {\left( {{x^2} + 1} \right)^2}$ ( vì cơ số ${x^2} + 1 > 1$)
$ \Leftrightarrow {x^4} + \left( {2 – a} \right){x^2} + 1 \le 0$ (*)
Đặt $t = {x^2},\,\,\,t > 0$ (vì $x \ne 0$)
Ta có (*) trở thành: ${t^2}+\left( {2 – a} \right)t + 1 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
$(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow $$(2)$ có nghiệm dương
$\Delta = {\left( {2 – a} \right)^2} – 4 = {a^2} – 4a$
$a \le 0:\,\,\,$không thỏa mãn (*)
$a = 4\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\Delta = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{t_1} = {t_2} = 1\,\,\, \Rightarrow (1)$ có nghiệm.
$0 0,\,\,\,\forall t$
khi đó $(2)$ vô nghiệm $ \Rightarrow $ $(1)$ vô nghiệm
$a > 4\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\Delta > 0$ ta có :$\left\{ \begin{array}{l}
{t_1}.{t_2} = 1 > 0\\
{t_1} + {t_2} = a – 2 > 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow 0 $\Rightarrow (2)$ có các nghiệm dương ${t_1},\,{t_2}\,\,\,\,\, \Rightarrow $$(1)$ có nghiệm
Từ các trường hợp trên suy ra với $a \ge 4$ thì bất phương trình (1) có nghiệm.
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời