Đề bài:
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{x+2y+1}{x^2+y^2+7} (1)$
Bài giải:
Viết lại $(1) \Leftrightarrow Qx^2-x+Qy^2-2y+7Q-1=0 (2)$
1) $Q=0 \Leftrightarrow x+2y+1=0 (3)$
2) $Q\neq 0$ Xem $Q$ là phương trình bậc hai đối với $Q$
Ta có: $\Delta_x=-4Q^2y^2+8Qy-28Q^2+4Q+1$
Gọi $f(y)=-4Q^2y^2+8Qy-28Q^2+4Q+1, \Delta_y=4Q^2(-28Q+4Q+5)$
Tập giá trị của $Q$ là nghiệm cả $\Delta_x \geq 0 \Leftrightarrow f(y) \geq 0$. Điều đó có khi và chỉ khi
$\Delta_y\geq 0 \Leftrightarrow -28Q^2+4Q+5 \geq 0 \Leftrightarrow Q \in [-\frac{5}{14};\frac{1}{2}]$ \ $\left\{ {0} \right\} (4)$
Từ $(3),(4) \Rightarrow \left\{ {\mathop {\min}\limits_{R} Q=-\frac{14}{5}; \mathop {\max}\limits_{R}Q=\frac{1}{2}} \right\}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời