Tìm tất cả các cặp $x, y$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau \({3^{|{x^2} – 2x – 3| – {{\log }_3}5}} = {5^{ – \left( {y + 4} \right)}}\) và \(4|y| – |y – 1| + {\left( {y + 3} \right)^2} \le 8\)

Đề bài:
Tìm tất cả các cặp $x, y$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau \({3^{|{x^2} – 2x – 3| – {{\log }_3}5}} = {5^{ – \left( {y + 4} \right)}}\) và \(4|y| – |y – 1| + {\left( {y + 3} \right)^2} \le 8\)
Bài giải:
     \({3^{|{x^2} – 2x – 3| – {{\log }_3}5}} = {5^{ – \left( {y + 4} \right)}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{{{3^{|{x^2} – 2x – 3|}}}}{5} = {5^{ – y – 4}} \Leftrightarrow {3^{|{x^2} – 2x – 3|}} = {5^{ – y – 3}} \Rightarrow {5^{ – y – 3}} \ge 1\)
\( \Rightarrow  – y – 3 \ge 0 \Rightarrow y \le – 3   \left( 1 \right)\)
BPT thứ hai trở thành \( – 4y – \left( {1 – y} \right) + {\left( {y + 3} \right)^2} \le 8 \Leftrightarrow  – 3 \le y \le 0   \left( 2 \right)\)
Từ $(1)$ và $(2) $suy ra $y = -3$
Vậy hệ đã cho tương đương với:
    \(\left\{ \begin{array}{l}
{3^{|{x^2} – 2x – 3|}} = {5^0}\\
y =  – 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
|{x^2} – 2x – 3| = 0\\
y =  – 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x = – 1,y = – 3} \right);\left( {x = 3,y = – 3} \right)\)