Đề bài:
Tìm tất cả các giá trị thực của $a$ để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:$ \left\{ \begin{array}{l}x^2 + 7x – 8 < 0 (1)\\a^2x + 1 > 3 + (3a – 2)x (2)\end{array} \right. $
Bài giải:
Ta có: $ (1) \Leftrightarrow – 8 Muốn cho hệ (*) vô nghiệm thì (2) có nghiệm $ x \notin \left( { – 8;1} \right) \Leftrightarrow x \le – 8 \vee x \ge 1 $ hoặc (2) vô nghiệm.
Ta có:
$ \begin{array}{l}
(2) \Leftrightarrow ({a^2} – 3a + 2)x > 2\,\,\,\,\,(3)\\
{a^2} – 3a + 2 > 0 \Leftrightarrow a 2.\\
{a^2} – 3a + 2 \end{array} $
Ta xét khả năng sau:
1. Khi a = 1 V a=2: (3) vô nghiệm. $ \Leftrightarrow $ (2) vô nghiệm $ \Leftrightarrow $ hệ (*) vô nghiệm.
2. Khi a \frac{2}{{{a^2} – 3a + 2}} $
Để hệ (*) vô nghiệm, chỉ cần $ \begin{array}{l}
\frac{2}{{{a^2} – 3a + 2}} \ge 1 \Leftrightarrow {a^2} – 3a \le 0\Leftrightarrow 0 \le a \le 3
\end{array} $
Đối chiếu điều kiện, ta có: $ 0 \le a 3. Khi 1 Hệ (*) vô nghiệm khi $ \begin{array}{l}
\frac{2}{{{a^2} – 3a + 2}} \le – 8 \Leftrightarrow 8{a^2} – 24a + 18 \ge 0
\Leftrightarrow 2{(2a – 3)^2} \ge 0
\end{array} $ thỏa mãn $ \forall a. $
Đối chiếu điều kiện,ta có: $ 1 4. Khi a > 2: $ (3) \Leftrightarrow x > \frac{2}{{^{{a^2} – 3a + 2}}} $
Hệ (*) vô nghiệm khi $ \frac{2}{{{a^2} – 3a + 2}} \ge 1 \Leftrightarrow 0 \le a \le 3 $
Đối chiếu điều kiên, ta có: $ 2 Vậy hệ (*) vô nghiệm khi và chỉ khi: $ 0 \le a \le 3 $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
- Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
- Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
- Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
- Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
- Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
- Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
- Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
- Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Trả lời