Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ :    ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Đề bài:
Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ :    ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Bài giải:
•    Nếu ${\log _2}\frac{y}{{y + 1}} = 2:$$(1)$ không thỏa $\forall x \in \,R\,$
•    Nếu ${\log _2}\frac{y}{{y + 1}} \ne 2,\,\,\,$đặt vế trái của $(1)$ là $f(x)$
$f(x)$ là tam thức bậc $2$ có hệ số $a = 2 – {\log _2}\frac{y}{{y + 1}}$
$f(t) > 0,\,\,\forall x \in \,R\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta ‘ \end{array} \right.$
•        $a > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\log _2}\frac{y}{{y + 1}}     \left[ \begin{array}{l}
    y     y > 0
    \end{array} \right.\\
    \left[ \begin{array}{l}
    y     y >  – 1
    \end{array} \right.
    \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    y     y > 0
    \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

$Đặt {\log _2}\frac{y}{{y + 1}} =  t$; 
       $\begin{array}{l}
\Delta ‘
\end{array}$
Ta có: $\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0 \Rightarrow \left( {5 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0$
Từ đó suy ra $1 + {\log _2}\frac{y}{{y + 1}} $ \Leftrightarrow \frac{y}{{y + 1}} $(2)$ và $(3)$ suy ra    $ \Rightarrow 0
Vậy với $0