$1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hệ bất phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}x^2+ 10x + 9 \le 0\\x^2 – 2x + 1 – m \le 0\end{array} \right.$ có nghiệm.$2.$ Giải phương trình : $4^{x^2 – 3x + 2} + 4^{x^2 + 6x + 5}= 2^{^{x^2 + 3x + 7} }+ 1$$3.$ Cho các số $x, y$ thỏa mãn $x \ge 0;\,\,y \ge 0\,;\,x + y = 1$Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1}$
Bài giải chi tiết:
$1.$ $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 10x + 9 \le 0\\
{x^2} – 2x + 1 – m \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 9 \le x \le – 1\\
1 – \sqrt m \le x \le 1 + \sqrt m \,\,\,(m \ge 0)
\end{array} \right.$
Hệ có nghiệm $1 – \sqrt m \le – 1 \Leftrightarrow m \ge 4$
$\begin{array}{l}
2)\,{4^{{x^2} – 3x + 2}} + {4^{{x^2} + 6x + 5}} = {4^{^{{2x^2} + 3x + 7}}} + 1\\
\Leftrightarrow {4^{{x^2} – 3x + 2}} + {4^{{x^2} + 6x + 5}} = {4^{^{{x^2} – 3x +
2}}}{4^{^{{x^2} + 6x + 5}}} + 1\\
\Leftrightarrow \left( {{4^{^{{x^2} – 3x + 2}}} – 1} \right)\left( {1 – {4^{^{{x^2} + 6x + 5}}}}
\right) = 0
\end{array}$
Đáp số : $x = \pm1;x =2;x =- 5$
$3)$ Từ giả thiết $ \Rightarrow 0 \le xy \le \frac{1}{4}$. Ta có :
$P = \frac{{x^2 + x + y^2 + y}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} – 2xy + 1}}{{2x
+ xy}} = \frac{{2 – 2xy}}{{2 + xy}}$
Đặt xy = t $ \Rightarrow P = \frac{{2 – 2t}}{{2 + t}}\,\,\,;0 \le t \le \frac{1}{4}$
$P’ = \frac{{ – 6}}{{{{(2 + t)}^2}}} Suy ra $\max P = 1$ (đạt khi $t = xy = 0 \Leftrightarrow x = 0 ; y = 1$ hoặc $y = 0 ; x = 1$)
$\min P = 2/3$ (đạt khi $t = 1/4 \Leftrightarrow x = y = 1/2$)
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $ Tìm $max f(x) , min f(x). $
- Chứng minh rằng phương trình : $ (4x-3) \log_{2010}x + \frac{2x^2-3x+1}{x\ln 2010} = 0$ có nghiệm trên $\left ( \frac{1}{2} ;1 \right )$
- $y =f(x) \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2$. Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: ${x^2} – (4 + m)\left| x \right| + 5 + 2m = 0$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln^2 x}{x}$ trên đoạn $[1;e^3]$.
- Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$tùy theo giá trị của tham số $m$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x – 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x – 2} \right| – \ln \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$
- Cho $y=\sin ^3 x – \cos ^3x.$ Tìm $max y , min y.$
- Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
- Cho hàm số : $y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} \cos 2x + \frac{ 1}{ 3} \cos 3x.$ Tìm $max y , min y.$
Trả lời