a) Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{2^x-2^{-x}}{2}$ đơn điệu trên tập xác định của nó.b) Chứng minh rằng hàm số $y=f(x)=2^{\tan x}$ đơn điệu trong khoảng $(-\frac{\pi}{2}+k \pi; \frac{\pi}{2}+k \pi)$ với $k\in Z.$

a) Hàm số $y=f(x)= \frac{2^x-2^{-x}}{2}$  xác định với mọi $x$ thuộc tập $\mathbb{R}$.
Do $2>1$ nên mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ với $x_12^{x_1}$ và $\frac{1}{2^{x_1}}>\frac{1}{2^{x_2} }$
$f(x_2)=\frac{2^{x_2}-2^{-x_2}}{2} , f(x_1)=\frac{2^{x_1}-2^{-x_1}}{2} $
$f(x_2)-f(x_1)=\frac{1}{2}\left[(2^{x_2}- 2^{x_1})+(\frac{1}{2^{x_1}}-\frac{1}{2^{x_2} }) {} \right]>0$
Vậy $y=\frac{2^x-2^{-x}}{2}$ là hàm số đồng biến trên tập $\mathbb{R}$.

b) Lấy hai điểm bất kì $x_1, x_2 \in (-\frac{\pi}{2}+k \pi; \frac{\pi}{2}+k \pi)$ với $x_1ta có $f(x_1)= 2^{\tan x_1}, f(x_2)=2^{\tan x_2}.$
vì hàm số $y=\tan x$ đồng biến trên mọi khoảng nó xác định, nên nếu $x_1Mặt khác $g(x)=2^x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên:
$\tan x_1Như thế nếu $x_1vậy $f(x)= 2^{\tan x}$ là hàm số đồng biến trên khoẳng $(-\frac{\pi}{2}+k \pi; \frac{\pi}{2}+k \pi).$
với $k \in \mathbb{Z}$.