a)Chứng tỏ rằng nếu $y=\ln (x+{\sqrt{x^2+a^2}} ) $ thì $y'=\frac{1}{{\sqrt{x^2+a^2}} } $b)Sau đó tính : $I=\int\limits_{0}^{a}{\sqrt{x^2+a^2}} dx ; \forall a>0 $
Bài giải chi tiết:
a)Xét : $y=f(x)=\ln (x+{\sqrt{x^2+a^2}} )$
$y’=\frac{(x+{\sqrt{x^2+a^2}} )’}{x+{\sqrt{x^2+a^2}} }=\frac{1}{x+{\sqrt{x^2+a^2}} }(1+\frac{x}{{\sqrt{x^2+a^2}} } ) $
$=\frac{1}{x+{\sqrt{x^2+a^2}} }(\frac{{\sqrt{x^2+a^2}} +x}{{\sqrt{x^2+a^2}} } )=\frac{1}{{\sqrt{x^2+a^2}} } (đpcm)$
b)Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u={\sqrt{x^2+a^2}} \Rightarrow du=\frac{x}{{\sqrt{x^2+a^2}} } \\ dv=dx \Rightarrow v=x \end{array} \right. $
$\Rightarrow I=x{\sqrt{x^2+a^2}} |^a_0-\int\limits_{0}^{1}\frac{x^2dx}{{\sqrt{x^2+a^2}} }=a^2 {\sqrt{2}}-\int\limits_{0}^{a}\frac{x^2+a^2-a^2dx}{{\sqrt{x^2+a^2}} } $
$=a^2 {\sqrt{2}}-\int\limits_{0}^{a}{\sqrt{x^2+a^2}} dx+a^2 \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{{\sqrt{x^2+a^2}} } $
$\Rightarrow I=a^2 {\sqrt{2}}-I+[a^2\ln (x+{\sqrt{x^2+a^2}} )]^a_0 $ do câu a
$\Rightarrow 2I=a^2 {\sqrt{2}}+a^2 [\ln (a+a {\sqrt{2}} )-\ln a] (a>0)$
$\Rightarrow I=\frac{a^2 {\sqrt{2}} }{2}+\frac{a^2[\ln (1+ {\sqrt{2}} )]}{2} (ycbt)$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=x^{2}+3x+4$. Tính $f^{'}(2)$
- Tìm $a$ sao cho biểu thức: $ A = \cos 2x – a . \sin ^2 x+ 2 \cos ^2 x $ không phụ thuộc $x$.
- Tìm đạo hàm của hàm số: $y=f(x)=\begin{cases}1 với x=0 \\ \frac{1-\cos x}{x} với x \neq 0\end{cases}$
- Tính đạo hàm của các hàm số sau:a) $y = (3x – 2)\ln^2x$; b) $y = \sqrt{x^2 +1 }\ln x^2$ c) $y = x . \ln \frac{1}{1+x} $; d) $y = \frac{\ln (x^2 + 1)}{x} $
- Tính đạo hàm theo cấp đã cho của hàm số sau:$f(x)=\sin 3x$$f^{"}(-\frac{\pi}{2}),f^{"}(0),f^{"}(\frac{\pi}{18})?$
- Tính đạo hàm số cấp $n$ của hàm số:a) $y=\ln x$b) $y=\ln(x^2+x-2).$
- Cho $f(x)=x^3$ và $g(x)=4x^2+\cos\pi x$. Tính $\frac{f'(1)}{g'(1)}$
- Tìm đạo hàm của các hàm số:a) \(y=\cos^{3}(x^{2}+1)\)b) \(y=\cot (3x^{2}+\frac{x}{2})\).
- Chứng minh rằng :$ n C^0_n – (n-1)C^1_n +(n-2)C^2_n-(n-3)C^3_n+…+(-1)^{n-1}C^{n-1}_n = 0, \forall n \in N$
Trả lời