$\alpha ,\beta , \gamma $ là 3 góc dương thỏa mãn điều kiện $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi }{2}$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $g = \sqrt {1 + \tan\alpha \tan\beta } + \sqrt {1 + \tan\beta \tan\gamma } + \sqrt {1 + \tan\gamma \tan\alpha } $
Bài giải chi tiết:
Theo giả thiết ta có: $\pi /2 – \gamma = \alpha + \beta $
$ \Rightarrow tg(\pi /2 – \gamma ) = \cot g\gamma = \frac{1}{{tg\gamma }} = tg(\alpha + \beta ) = \frac{{tg\alpha + tg\beta }}{{1 – tg\alpha tg\beta }}$
$ \Leftrightarrow tg\alpha tg\beta + tg\beta tg\gamma + tg\gamma tg\alpha = 1$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$\begin{array}{l}
g = 1.\sqrt {1 + tg\alpha tg\beta } + 1.\sqrt {1 + tg\beta tg\gamma } + 1.\sqrt {1 + tg\gamma tg\alpha } \\
\le \left[ {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)} \right]{\left( {1 + tg\alpha tg\beta + 1 + tg\beta tg\gamma + 1 + tg\gamma tg\alpha } \right)^{1/2}}
\end{array}$
$ = \sqrt {3.4} = 2\sqrt 3 {\rm{ }} \Rightarrow max g = 2\sqrt 3 $
Dấu = xảy ra khi $\alpha = \beta = \gamma = \pi /6$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời