$\alpha$ là một góc cố định cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y = tan ^2(x + \alpha ) +tan^2(x – \alpha )$
Bài giải chi tiết:
Ta có
$y = tan^2(x + \alpha ) + tan^2(x – \alpha ) = \frac{{{{\sin }^2}(x + \alpha )}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}(x + \alpha )}} + \frac{{{{\sin }^2}(x – \alpha )}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}(x – \alpha )}}$
$ = \frac{{{{\sin }^2}(x + \alpha )c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}(x – \alpha ) + {{\sin }^2}(x – \alpha )c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}(x + \alpha )}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}(x + \alpha )c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}(x – \alpha )}}$
$ = \frac{{{{(\sin 2x + \sin 2\alpha )}^2}/4 + {{(\sin 2x – \sin 2\alpha )}^2}/4}}{{{{(co{\mathop{\rm s}\nolimits} 2x + co{\mathop{\rm s}\nolimits} 2\alpha )}^2}/4}}$
$ = \frac{{2({{\sin }^2}2x + {{\sin }^2}2\alpha )}}{{{{(co{\mathop{\rm s}\nolimits} 2x + co{\mathop{\rm s}\nolimits} 2\alpha )}^2}}} = \frac{{2(1 – co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}2x + {{\sin }^2}2\alpha )}}{{{{(co{\mathop{\rm s}\nolimits} 2x + co{\mathop{\rm s}\nolimits} 2\alpha )}^2}}}$
$\Rightarrow \min y = \left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}2\alpha /{(1 + co{\mathop{\rm s}\nolimits} 2\alpha )^2}nếu cos2\alpha \ge {\rm{0 (khi cos2x = 1)}}\\
{\sin ^2}2\alpha /{(1 – co{\mathop{\rm s}\nolimits} 2\alpha )^2}nếu cos2\alpha \le {\rm{0 (khi cos2x = – 1)}}
\end{array} \right.$
$ = \left\{ \begin{array}{l}
2tan^2\alpha ,nếu cos2\alpha \ge {\rm{0 (khi cos2x = 1)}}\\
2\cot ^2\alpha ,nếu cos2\alpha \le {\rm{0 (khi cos2x = – 1)}}
\end{array} \right.$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời