Ba đại lượng biến thiên $x, y, z$ luôn thỏa mãn điều kiện: $xy + yz + zx = 4$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $F = {x^4} + {y^4} + {z^4}$
Bài giải chi tiết:
Do $2uv \le {u^2} + {v^2}$ ta có
$4 = xy + yz + xz \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} + \frac{{{y^2} + {z^2}}}{2} + \frac{{{x^2} + {z^2}}}{2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}$
$ \Leftrightarrow 16 \le {({x^2} + {y^2} + {z^2})^2} = {x^4} + {y^4} + {z^4} + 2{x^2}{y^2} + 2{y^2}{z^2} + 2{x^2}{z^2}$
$ \le {x^4} + {y^4} + {z^4} + \left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \left( {{y^4} + {z^4}} \right) + \left( {{x^4} + {z^4}} \right) = 3({x^4} + {y^4} + {z^4})$
$ \Leftrightarrow 16/3 \le {x^4} + {y^4} + {z^4}$
Vậy $\min F = 16/3$ đạt được khi $x = y = z = \pm 2\sqrt 3 $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời