Biết $a < b < c$. Xem hàm số $y = (x - a)(x - b)(x - c)$1) Chứng tỏ rằng y có cực đại và cực tiểu.2) Xác định vị trí hoành độ của cực đại và cực tiểu đối với $a, b, c$.3) Giả sử $b = 0$. Tìm liên hệ giữa $a, c$ để điểm uốn của đồ thị nằm trên đường cong $y = {x^3}$ Bài giải chi tiết:
$1)$ Hàm số xác định với mọi $x$, ta có
$y’ = (x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c)$
$ = 3{x^2} – 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc)$ $(1)$
Và $\Delta ‘ = {(a + b + c)^2} – 3(ab + ac + bc)$
$ = {a^2} + {b^2} + {c^2} – (ab + ac + bc) $
$ = (b – a)(c – a) + {(c – b)^2} > 0$ (do $a suy ra y đạt cực đại và cực tiểu tại ${x_1},{x_2}$ trong đó ${x_1},{x_2}{\rm{ (}}{{\rm{x}}_1}
$2)$ Lần lượt thế $x = a,{\rm{ }}x = b,{\rm{ x}} = c$ vào biểu thức $(1)$ ta có:
$\begin{array}{l}
y'(a) = (a – b)(a – c) > 0,\\
y'(b) = (b – a)(b – c) y'(c) = (c – a)(c – b) > 0.
\end{array}$
( do $a
$3)$ Với $b = 0$ ta có
$\begin{array}{l}
y = x(x – a)(x – c),\\
y’ = 3{x^2} – 2(a + c)x + ac,\\
y” = 6x – 2(a + c);\\
y” = 0 \Leftrightarrow 6x – 2(a + c) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{a + c}}{3}
\end{array}$
Suy ra hoành độ điểm uốn của đồ thị là $x = \frac{{a + c}}{3}$.
Do điểm uốn nằm trên đường cong $y = {x^3}$ nên ta có
${\left( {\frac{{a + c}}{3}} \right)^3} = \frac{{a + c}}{3}\left( {\frac{{a + c}}{3} – a} \right)\left( {\frac{{a + c}}{3} – c} \right)$.
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow (a + c)\left[ {{{(a + c)}^2} – (c – 2a)(a – 2c)} \right] = 0\\
\Leftrightarrow (a + c)({a^2} + {c^2} – ac) = 0
\end{array}$
a) $a + c = 0$
b) ${a^2} + {c^2} – ac = 0 \Rightarrow a = c = 0$(do $a Vậy liên hệ phải tìm là $a + c = 0$.
Kết quả này vẫn đúng cả khi $a = b = c = 0$, khi đó hàm số sẽ không có cực đại và cực tiểu
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số: $y = {x^2} – 3x + \frac{m}{x} + 3$ có $3$ điểm cực trị.Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong : $y = 3(x-1)^2$
- Cho hàm số: $y = x^4 – 2mx^2 + 2m + m^4$$1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu? Đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.$2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$
- Cho hàm số: $ y = mx^3 – 3mx^2 + (2m + 1)x + 3 – m (C_m) $ Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của $ (C_m) $ luôn đi qua một điểm cố định.
- Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – m}}$ (1)1) Xác định tham số $m$ để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Vẽ đồ thị hàm số trong trường hợp đó.2) Tìm $m$ để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện: $| {{y_{CD}} – {y_{CT}}} | > 8$3) Giả sử $m \ne 0$ và $m \ne 1$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (1) tại giao điểm của nó với trục tung luôn cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1
- Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{2}(\sin a + \cos a){x^2} + \frac{3\sin 2a}{4}x$. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$
- Cho hàm số: $y = 2{x^3} – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\,\,\, (1)$$1.$ Khảo sát hàm số $(1)$ khi $m = 1.$$2.$ Chứng minh rằng với mọi $m$, hàm số ($1$) luôn đạt cực trị tại $x_1; x_2$ với $x_2 – x_1$ không phụ thuộc $m.$
- Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2{m^2}x + {m^2}}}{{x + 1}}$1) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực trị?2) Xác định $m$ để đồ thị của hàm số có 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.3) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với $m = 2$
- Cho hàm số \(y = \frac{{3x – 1}}{{x – 3}}\)$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số$2.$ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho khi \(0 \le x \le 2\)
- Cho hàm số: $y = \frac{{x^2 + (m + 1)x – m + 1}}{x – m}$$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 2.$$2.$ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị hàm số (với $m = 2$ ở câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số.$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.
Trả lời