Cho $a,b$ là các số thực cho trước. Xác định tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn mỗi một tính chất sau đây:a) $f(a-x)=f(x)$, với mọi $x\in R$b) $f(a-x)+f(x)=b$, với mọi $x\in R$
Bài giải chi tiết:
Giải
Đặt $x=\frac{a}{2}-t, t\in R$ suy ra $t=\frac{a}{2}-x$ và $a-x=\frac{a}{2}+t$. Ta có
a) $f(a-x)=f(x), \forall x\in R \Rightarrow f(\frac{a}{2}+1)=f(\frac{a}{2}-t), \forall t\in R (*)$
Đặt $g(t)=f(\frac{a}{2}+t)$ khi đó (*) $\Leftrightarrow g(t)=g(-t), \forall t\in R \Leftrightarrow g(t)$ là hàm số chẵn trên $R$
b) $f(a-x)+f(x)=b, \forall x\in R \Leftrightarrow f(\frac{a}{2}+t)-\frac{b}{2}=\frac{b}{2}-f(\frac{a}{2}-1), \forall t\in R (**)$
Đặt $h(t)=f(\frac{a}{2}+t)-\frac{b}{2}$ khi đó (**) $\Leftrightarrow h(t)=-h(t), \forall t\in R \Leftrightarrow h(t)$ là hàm số lẻ trên $R$.
Vậy $f(x)=h(x-\frac{a}{2})+\frac{b}{2}$ với $g(x)$ là một hàm số chẵn tùy ý xác định trên $R$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Xác định tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:a) $y=\tan (2x-\frac{\pi}{4} )$ b) $y= 2\sin^2(3x+\frac{\pi}{5} )$
- Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm mọi cấp trên $R$, và thỏa mãn điều kiện $f'( {\frac{{x + y}}{2}} ) = \frac{{f(y) – f(x)}}{{y – x}},\forall x, y \in R,x \ne y$ (1)Chứng minh: $f(x) = f''(0)\frac{{{x^2}}}{2} + f'(0)x + f(0),\forall x \in R$
- Cho hàm số: $y = 4x^3 + mx$a) Tùy theo các giá trị của $a$, hãy xét sự biến thiên của hàm sốb) Xác định $m$ để $\left| y \right| \le 1$ khi $\left| x \right| \le 1$
- Bỏ dấu trị tuyệt đối trong biểu thức của \(f(x)\)a) \(f(x)=|-3x+2|\) b) $ f(x)=|2x+5||3-4x|$
- Cho các hàm số : $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}},g(x) = \frac{x}{{1 – \left| x \right|}}$$ a)$ Tìm miền xác định và miền giá trị của $f(x) $ và $g(x).$$ b)$ Tìm $g_0f$ và $f_0g.$
- Xét hàm số $x \rightarrow y = f(x) = \frac{{x – 1}}{x}$$a)$ Xác định tập hợp $E \subset $ $R$ sao cho $f$ là một song ánh từ $E$ vào $E..$$b)$ Xác định hàm số ngược $f^{-1}.$
- Cho hàm số $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2} $ Chứng minh rằng nếu $a+b=1$ thì $f(a)+f(b)=1$
- Cho $a, c$ là hai hằng số; $f(x)$ là một hàm số xác định trên $R$ và thỏa mãn điều kiện$af(x) = f'(x),\forall x \in R$; $f(0) = c$. Chứng minh rằng $f(x) = ce^{ax},\forall x \in R$.Từ kết quả đó hãy tìm hàm $g(x)$ nếu biết: $\int\limits_0^x g(t)dt = g(x),\forall x \in R $
- a) Vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số $y=2x^2$.b) Trên đồ thị $(P)$ ta lấy hai điểm $A, B$ có hoành độ tương ứng là $1$ và $2$. Xác định các giá trị của $m$ và $n$ để đường thẳng $y=mx+n$ tiếp xúc với $(P)$ và song song $AB$.
Trả lời