Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác bất kì, $S$ là diện tích của tam giác đó. Hãy tìm số thực $p$ nhỏ nhất thỏa mãn: $S^2\leq p(a^4+b^4+c^4)$
Bài giải chi tiết:
Giải:
Công thức Hê-Rông để tính diện tích của một tam giác khi biết ba cạnh $a,b,c$ là: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, với $p=\frac{a+b+c}{2}$
Do đó $S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$
$\Leftrightarrow S^2 = \frac{a+b+c}{2}(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-c)$
$\Leftrightarrow S^2=\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$
$\Leftrightarrow S^2=\frac{1}{16}[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]$
$\Leftrightarrow S^2=\frac{1}{16}[(a+b)^2c^2-(a^2-b^2)^2-c^4+(a-b)^2c^2]$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương cho ta:
$2a^2b^2\leq a^4+b^4, 2b^2c^2\leq b^4+c^4, 2c^2a^2\leq c^4+a^4$
Do đó: $S^2\leq \frac{1}{16}(a^4+b^4+b^4+c^4+c^4+a^4-a^4-b^4-c^4)$
$\Leftrightarrow S^2\leq \frac{1}{16}{(a^4+b^4+c^2)}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c \Leftrightarrow$ tam giác ABC đều
Trong trường hợp này thì $p=\frac{1}{16}$ là giá trị nhỏ nhất thỏa mãn:
$S^2\leq p(a^4+b^4+c^4)$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời