Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác bất kì, $S$ là diện tích của tam giác đó. Hãy tìm số thực $p$ nhỏ nhất thỏa mãn:                  $S^2\leq p(a^4+b^4+c^4)$

                                            Giải:
Công thức Hê-Rông để tính diện tích của một tam giác khi biết ba cạnh $a,b,c$ là: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, với $p=\frac{a+b+c}{2}$
Do đó $S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$
      $\Leftrightarrow S^2 = \frac{a+b+c}{2}(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-c)$
      $\Leftrightarrow S^2=\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$
      $\Leftrightarrow S^2=\frac{1}{16}[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]$
      $\Leftrightarrow S^2=\frac{1}{16}[(a+b)^2c^2-(a^2-b^2)^2-c^4+(a-b)^2c^2]$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương cho ta:
    $2a^2b^2\leq a^4+b^4, 2b^2c^2\leq b^4+c^4, 2c^2a^2\leq c^4+a^4$
Do đó: $S^2\leq \frac{1}{16}(a^4+b^4+b^4+c^4+c^4+a^4-a^4-b^4-c^4)$
     $\Leftrightarrow S^2\leq \frac{1}{16}{(a^4+b^4+c^2)}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c \Leftrightarrow$ tam giác ABC đều
Trong trường hợp này thì $p=\frac{1}{16}$ là giá trị nhỏ nhất thỏa mãn:
     $S^2\leq p(a^4+b^4+c^4)$