Cho $a,b,c$ là các hằng số thỏa mãn $\frac{a}{2010}+\frac{b}{2009}+\frac{c}{2008} = 0$. Chứng minh phương trình $ax^2 + bx + c=0$ có nghiệm trên $(0;1).$
Bài giải chi tiết:
Xét $f(x) = ax^{2009} + bx^{2008}+cx^{2007}, x \in R$
$\Rightarrow F(x) = \int\limits_{0}^{x} f(t)dt = \frac{ax^{2010}}{2010} + \frac{bx^{2009}}{2009}+\frac{cx^{2008}}{2008}$ khả vi trên $R$ và thỏa mãn $F(0) = F(1) = 0$
Theo định lí Lagrange tồn tại $x_0 \in (0;1)$ sao cho $F'(x_0) = 0 \Leftrightarrow f(x_0) = 0$
$\Leftrightarrow x^{2007}_0 (ax^2_0 + bx_0 + c) = 0 \Leftrightarrow ax^2_0 + bx_0 + c = 0$
$\Leftrightarrow x = x_0 \in (0;1) $ là nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0.$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $ Tìm $max f(x) , min f(x). $
- Chứng minh rằng phương trình : $ (4x-3) \log_{2010}x + \frac{2x^2-3x+1}{x\ln 2010} = 0$ có nghiệm trên $\left ( \frac{1}{2} ;1 \right )$
- $y =f(x) \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2$. Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: ${x^2} – (4 + m)\left| x \right| + 5 + 2m = 0$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln^2 x}{x}$ trên đoạn $[1;e^3]$.
- Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$tùy theo giá trị của tham số $m$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x – 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x – 2} \right| – \ln \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$
- Cho $y=\sin ^3 x – \cos ^3x.$ Tìm $max y , min y.$
- Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
- Cho hàm số : $y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} \cos 2x + \frac{ 1}{ 3} \cos 3x.$ Tìm $max y , min y.$
Trả lời