Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x+y+z=\frac{\pi}{2}$. Tìm GTLN của biểu thức : $Q=\frac{\sin x}{a}+\frac{\sin y}{b}+\frac{\sin z}{c}$
Bài giải chi tiết:
Ta có:
Đặt $x=\frac{\pi}{2}-\alpha, y=\frac{\pi}{2}-\beta, z=\frac{\pi}{2}-\gamma \Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=\pi$
Biểu thức $Q$ trở thành $Q=\frac{\cos \alpha}{a}+\frac{\cos \beta}{b}+\frac{\cos \gamma}{c}$
Theo $(2′)$ ta có $Q \geq \frac{a}{2bc}+\frac{b}{2ca}+\frac{c}{2ab}=\frac{a^2b^2+c^2}{2abc}$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\sin \alpha:\sin \beta:\sin \gamma=a:b:c (*)$
Mặt khác trong $\Delta ABC$ luôn có : $\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c$ ( định lí $\sin $)
Suy ra với $(\alpha=A,\beta=B,\gamma=C)\Leftrightarrow (x=\frac{\pi}{2}-A;y=\frac{\pi}{2}-B;z=\frac{\pi}{2}-C)$ thì (*) được thỏa mãn. Vậy $\max Q=\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời