Cho ba số thực $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn:    $x^{1997}+y^{1997}+z^{1997}=3$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F=x^2+y^2+z^2$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho $1995$ số $1$ và $2$ số $x^{1997}$, ta có:
    $\frac{1995+2x^{1997}}{1997}\geq \sqrt[1997]{x^{2.1997}}=x^2          (1)$
Tương tự:   $\frac{1995+2y^{1997}}{1997}\geq y^2           (2)$
                  $\frac{1995+2z^{1997}}{1997}\geq z^2         (3)$.
Cộng từng vế của $(1),(2),(3)$ ta có:
     $F=x^2+y^2+z^2\leq \frac{3.1995+2(x^{1997}+y^{1997}+z^{1997})}{1997}=3$
Vậy $F_{\max}=3$ đạt được khi $x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1   (x,y,z\geq 0)$.