Cho biểu thức $P$ = \(\cos A + \cos B + \cos C\). Trong đó $A, B, C$ là các góc của tam giác $ABC$ bất kì. Chứng minh rằng $P$ đạt giá trị lớn nhất nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải chi tiết:
$P=$ \(\cos A + \cos B + \cos C = 2\cos \frac{{A + B}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2} + 1 – 2{\sin ^2}\frac{C}{2}\)
\(= 1 + 2\sin \frac{C}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2} + 1 – 2{\sin ^2}\frac{C}{2}\)
\(=1 + 2\sin \frac{C}{2}\left( {c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2} – c{\rm{os}}\frac{{A + B}}{2}} \right) = 1 + 4\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\)
Từ đó: \(P = 1 – 2\left( {{{\sin }^2}\frac{C}{2} – \sin \frac{C}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2}} \right)\)
\( = 1 – 2{\left( {\sin \frac{C}{2} – \frac{1}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{A – B}}{2}\)
\( = \frac{3}{2} – 2{\left( {\sin \frac{C}{2} – \frac{1}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2}} \right)^2} – \frac{1}{2}{\sin ^2}\frac{{A – B}}{2} \le \frac{3}{2}\)
\(P = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin \frac{{A – B}}{2} = 0\\
\sin \frac{C}{2} – \frac{1}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = B\\
\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \Delta ABC\)đều
Đáp số: $\max P$ = \(\frac{3}{2}\) xảy ra khi và chỉ khi \(\Delta ABC\)đều
Mặt khác \(P = 1 + 4\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2} > 1,\forall \Delta ABC\), do đó nếu $P$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $m$ thì ta cũng có \(P \ge m > 1,\forall \Delta ABC\)
Xét các tam giác $ABC$ với \(A = 2x,B = C = \frac{\pi }{2} – x\) thì \(P = 1 + 4\sin .{\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{4} – \frac{x}{2}} \right);\mathop {\lim P}\limits_{x \to 0} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 + 4\sin x.{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} – \frac{x}{2}} \right)} \right) = 1 + 0 = 1\)
Nhưng với P \( \ge m,\forall \Delta ABC \Rightarrow \mathop {\lim P}\limits_{x \to 0} \ge m \Rightarrow 1 \ge m\) (vô lý) .
Vậy $P$ không có giá trị nhỏ nhất
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời