• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar

Bài Tập Toán Lý Hóa Sinh Tiếng Anh

Tập hợp bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Tiếng Anh, Sử, Địa, GDCD, Văn Phổ thông

  • Môn Toán
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Sinh
  • Môn Anh
  • Môn Văn
  • Môn Sử
  • Môn Địa
  • Môn GDCD
  • Môn Công nghệ
  • Môn Tin học

Cho biểu thức $P$ = \(\cos A + \cos B + \cos C\). Trong đó $A, B, C$ là các góc của tam giác $ABC$ bất kì. Chứng minh rằng $P$ đạt giá trị lớn nhất nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất.

29/01/2020 by Baitap.net Để lại bình luận

Cho biểu thức $P$ = \(\cos A + \cos B + \cos C\). Trong đó $A, B, C$ là các góc của tam giác $ABC$ bất kì. Chứng minh rằng $P$ đạt giá trị lớn nhất nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài giải chi tiết:

$P=$ \(\cos A + \cos B + \cos C = 2\cos \frac{{A + B}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2} + 1 – 2{\sin ^2}\frac{C}{2}\)
    \(= 1 + 2\sin \frac{C}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2} + 1 – 2{\sin ^2}\frac{C}{2}\)
    \(=1 + 2\sin \frac{C}{2}\left( {c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2} – c{\rm{os}}\frac{{A + B}}{2}} \right) = 1 + 4\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\)
Từ đó: \(P = 1 – 2\left( {{{\sin }^2}\frac{C}{2} – \sin \frac{C}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2}} \right)\)
                \( = 1 – 2{\left( {\sin \frac{C}{2} – \frac{1}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{A – B}}{2}\)
                \( = \frac{3}{2} – 2{\left( {\sin \frac{C}{2} – \frac{1}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2}} \right)^2} – \frac{1}{2}{\sin ^2}\frac{{A – B}}{2} \le \frac{3}{2}\)
\(P = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin \frac{{A – B}}{2} = 0\\
\sin \frac{C}{2} – \frac{1}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = B\\
\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \Delta ABC\)đều
Đáp số: $\max P$ = \(\frac{3}{2}\) xảy ra khi và chỉ khi \(\Delta ABC\)đều

Mặt khác \(P = 1 + 4\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2} > 1,\forall \Delta ABC\), do đó nếu $P$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $m$ thì ta cũng có \(P \ge m > 1,\forall \Delta ABC\)
Xét các tam giác $ABC$ với \(A = 2x,B = C = \frac{\pi }{2} – x\) thì \(P = 1 + 4\sin .{\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{4} – \frac{x}{2}} \right);\mathop {\lim P}\limits_{x \to 0}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 + 4\sin x.{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} – \frac{x}{2}} \right)} \right) = 1 + 0 = 1\)
Nhưng với P \( \ge m,\forall \Delta ABC \Rightarrow \mathop {\lim P}\limits_{x \to 0}  \ge m \Rightarrow 1 \ge m\) (vô lý) .
Vậy $P$ không có giá trị nhỏ nhất

Câu trắc nghiệm liên quan:

  1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:   $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
  3. Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$.  Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
  4. Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
  5. Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
  6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
  7.   Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện:          $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
  8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :         $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
  9. Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).

Thuộc chủ đề:Hàm số Tag với:Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

Bài viết mới

  • Cho hình hộp chữ nhật đáy là hình vuông cạnh đáy bằng $2r$, chiều cao là $3,5r$. Hỏi có thể xếp vào đó 13 quả cầu bán kính $r$ hay không? 15/02/2021
  • Tìm tất cả số phức $z$, biết rằng $z^2=|z|^2+\overline{z}$. 15/02/2021
  • 1, Cho số phức $\alpha$. Chứng minh rằng với mọi số phức z, ta có:                 $z\overline{z} +\overline{\alpha}z+\alpha \overline{z} =|z+\alpha|^2-\alpha \overline{\alpha}  $ 2, Từ câu 1. hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn $z\overline{z} +\overline{\alpha}z+\alpha \overline{z} +k=0$, trong đó $\alpha$ là số phức cho trước, k là số thực cho  trước 15/02/2021
  • Tìm căn bậc hai của số phức $-8+6i$ 13/02/2021
  • Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì $|z|=\sqrt{|w|} $ 13/02/2021




Baitap.net (c) 2019 - Bài Tập Toán Lý Hóa Sinh Anh -Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Bảo mật
Học Toán - Học Trắc nghiệm - Ebook Toán - Học Giải - Mon Toán - Giai bai tap hay - Lop 12 - - HocZ Net -