Cho các đường: $y = – \frac{{{x^3}}}{3} + 3x$ $(P)$ và $y = m(x – 3)$ $(T)$1) Với giá trị nào của $m$ thì $(T)$ là tiếp tuyến của $(P)$?2) Chứng tỏ họ $(T)$ đi qua một điểm cố định $A$ thuộc $(P)$.3) Gọi $A, B, C$ là các giao điểm của $(P)$ và $(T)$. Hãy tìm m để $OB \bot OC$ ($O$ là gốc tọa độ)
Bài giải chi tiết:
$2)$ Dễ nhận thấy rằng $(T)$ luôn đi qua điểm cố định $A(3, 0)$. Điểm này thuộc $(P)$.
$3)$ Hoành độ của các điểm $A, B, C$ là nghiệm của phương trình:
$\begin{array}{l}
– {x^3}/3 + 3x = m(x – 3)\\
\Leftrightarrow (x – 3)({x^2} + 3x + 3m) = 0{\rm{ (*)}}
\end{array}$
Suy ra hoành độ của $B, C$ ($ \ne 3$) là nghiệm của phương trình ${x^2} + 3x + 3m = 0$.
Để tồn tại $B, C$ có hoành độ $ \ne 3$ cần và đủ là:
$\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 9 – 12m > 0\\
{3^2} + 3.3 + 3m \ne 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m Gọi tọa độ của $B, C$ là $({x_B},{y_B}),{\rm{ (}}{x_C},{y_C})$ ta có: ${x_B}{x_C} = 3m,{\rm{ }}{x_B} + {x_C} – 3$ (theo định lý Viet)
Ta có hệ số góc của $OB$: ${k_B} = {y_B}/{x_B}$, hệ số góc của OC: ${k_C} = {y_C}/{x_C}$.
Theo giả thiết
${k_B}{k_C} = – 1 \Rightarrow {k_B}{k_C} = {y_B}{y_C}/{x_B}{x_C} = – 1 \Rightarrow {y_B}{y_C} = – 3m{\rm{ (m}} \ne {\rm{0)}}$
Lại do $B, C$ thuộc đường thẳng $y = m(x – 3)$ nên
${y_B} = m({x_B} – 3),{\rm{ }}{{\rm{y}}_C} = m({x_C} – 3)$
$ \Rightarrow – 3m = {y_B}{{\rm{y}}_C} = {m^2}({x_B} – 3)({x_C} – 3) $
$ = {m^2}{\rm{[}}{x_B}{x_C} – 3({x_B} + {x_C}) + 9] = {m^2}(3m + 18)$
$ \Leftrightarrow m({m^2} + 6m + 1) = 0$
Do $m \ne 0$ nên ${m^2} + 6m + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {\rm{m}} = – {\rm{3}} \pm \sqrt 8 $ (thỏa mãn điều kiện tồn tại $B, C$).
Đáp số: ${\rm{m}} = – {\rm{3}} \pm \sqrt 8 $
$1)$ Do $(*)$ để $(T)$ là tiếp tuyến của $(P)$ thì điều kiện cần và đủ là:
$\left[ \begin{array}{l}
x = 3 {\rm{ là nghiệm của }}{{\rm{x}}^2} + 3x + 3m = 0\Rightarrow {\rm{ m}} = – 6\\
\Delta = 9 – 12m = 0{\rm{ }} \Rightarrow m = \frac{3}{4}
\end{array} \right.$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho hàm số: $y = \frac{{ – {x^2} + x + a}}{{x + a}}$, trong đó $a$ là tham số.1) Xác định $a$ để đồ thị hàm số có tiện cận xiên đi qua điểm $(0; 2)$.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị vừa tìm được của $a$.2) Xác định tất cả các giá rị của $a$ để đồ thị hàm số cắt đường thẳng $y = x – 1$ tại 2 điểm phân biệt. Khi đó gọi ${y_1},{y_2}$ là tung độ của 2 giao điểm, hãy tìm một hệ thức giữa ${y_1},{y_2}$ không phụ thuộc vào $a$
- Cho parabol: $y = {x^2}+(2m + 1)x + {m^2} – 1$. Trong đó $m$ là tham số.a) Tìm quỹ tích đỉnh của parabol khi $m$ biến thiênb) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng $y = x$ với parabol không phụ thuộc vào $m$.c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định
- Cho hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) có phương trình: \(d_1: (a+b)x+y=1\) \(d_2: (a^2-b^2)x+ay=b\).a) Tìm giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\) biện luận theo \(a,b\)b) Tìm điều kiện của \(a\) và \(b\) để \(d_1\) và \(d_2\) và trục hoành cắt nhau tại 1 điểm.
- Cho hàm số: $y = {x^3} – 3x\,\,(1)$$1$. Khảo sát hàm số ($1).$$2$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, đường thẳng cho bởi phương trình $y = m(x + 1) + 2$ luôn cắt đồ thị hàm số ($1$) tại một điểm $A$ cố định.Hãy xác định các giá trị của $m$ để đường thẳng cắt đồ thị hàm số ($1$) tại $3$ điểm $A, B, C$ khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau.
- Cho hàm số: $y = x^3 – \frac{3}{2}mx^2 + \frac{1}{2}{m^3}$ với $m$ là tham số$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 1.$$2$. Xác định $m$ để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x.$$3$. Xác định $m$ để đường thẳng $y = x$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt $A, B, C$ sao cho $AB = BC.$
- Tính đạo hàm các hàm số sau đây:a) $y=\sin 3x-\cos3x$ b) $y=\frac {x}{\sin x}$ c) $y=\sin ^32x$ d) $y= \cos \frac{1}{x}$
- Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} – (2m + 1)x + {m^2} – m}}{{x + {m^2} + 4m + 5}}$trong đó $m$ là tham số1) Tìm quỹ tích giao điểm của đồ thị với trục $Ox$, khi $m$ thay đổi.2) Tìm quỹ tích giao điểm của đồ thị với trục $Oy$, khi $m$ thay đổi
- Xem hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3) Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$
- Cho hàm số: $y = {x^2}(m – x) – m$ (1)a) Chứng minh rằng đường thẳng $y = kx + k + 1$ luôn luôn cắt đường cong (1) tại một điểm cố định.b) Tìm $k$ theo $m$ để đường thẳng cắt đường cong (1) tại ba điểm phân biệt.c) Tìm $m$ để hàm số (1) đồng biến trong khoảng $1 < x < 2$
Trả lời