Cho các hàm số : $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}},g(x) = \frac{x}{{1 – \left| x \right|}}$$ a)$ Tìm miền xác định và miền giá trị của $f(x) $ và $g(x).$$ b)$ Tìm $g_0f$ và $f_0g.$
Bài giải chi tiết:
$a)$ $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}}$ có miền xác định : $D = R$
$f( – x) = – \frac{x}{{1 + \left| x \right|}} = -f(x) \Rightarrow f(x)$ lẻ.
Ta chỉ tìm miền giá trị ứng với $x\in [0, +\infty $] rồi sau đó lấy đối xứng qua $Oy$ : $\forall y \in
f((0, + \infty ));\exists x \in (0, + \infty ):y = \frac{x}{{1 + x}}$
$ \Leftrightarrow (1 – y)x = y \Rightarrow \frac{y}{{1 – y}} \ge 0 \Leftrightarrow y \in
{\rm{[}}0,1)$
Lấy đối xứng qua $Oy$, miền giá trị $T = (-1,1)$
Tương tự $g(x)$ cũng là hàm số lẻ
$\Rightarrow $ Miền xác định $D = R\left\{ {\pm 1} \right\}$
Miền giá trị : $T = R$
$b) (g_0f) = g[f(x)] =$ $\frac{{f\left( x \right)}}{{1 – \left| {f(x)} \right|}} = \frac{{\frac{x}{{1 +
\left| x \right|}}}}{{1 – \left| {\frac{x}{{1 + \left| x \right|}}} \right|}} = \frac{{\frac{x}{{1 +
\left| x \right|}}}}{{1 – \frac{{\left| x \right|}}{{1 + \left| x \right|}}}} = x$
$(f_0g)(x) = f[g(x)] =$ $\frac{{g\left( x \right)}}{{1 + \left| {g(x)} \right|}} = \frac{{\frac{x}{{1 –
\left| x \right|}}}}{{1 + \left| {\frac{x}{{1 – \left| x \right|}}} \right|}}$ ($*)$
• $ x \geq 0 : (*) \Leftrightarrow (f0g)(x) =$ $\frac{{\frac{x}{{1 – x}}}}{{1 + \left| {\frac{x}{{1 – x}}}
\right|}}$
*$ 0 \leq x * $x > 1$ : $\left| {\frac{x}{{1 – x}}} \right|$ = $ – \frac{x}{{1 – x}}$ $\Rightarrow (f0g)(x) = \frac{x}{{1 – 2x}}$
• $ x – \left| x \right|}}} \right|}}$
* $-1 * $x Tóm lại : $(f_0g)(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{{1 – 2\left| x \right|}}x 1\\
x{\rm{- 1 \end{array} \right.$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Xác định tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:a) $y=\tan (2x-\frac{\pi}{4} )$ b) $y= 2\sin^2(3x+\frac{\pi}{5} )$
- Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm mọi cấp trên $R$, và thỏa mãn điều kiện $f'( {\frac{{x + y}}{2}} ) = \frac{{f(y) – f(x)}}{{y – x}},\forall x, y \in R,x \ne y$ (1)Chứng minh: $f(x) = f''(0)\frac{{{x^2}}}{2} + f'(0)x + f(0),\forall x \in R$
- Cho hàm số: $y = 4x^3 + mx$a) Tùy theo các giá trị của $a$, hãy xét sự biến thiên của hàm sốb) Xác định $m$ để $\left| y \right| \le 1$ khi $\left| x \right| \le 1$
- Bỏ dấu trị tuyệt đối trong biểu thức của \(f(x)\)a) \(f(x)=|-3x+2|\) b) $ f(x)=|2x+5||3-4x|$
- Cho $a,b$ là các số thực cho trước. Xác định tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn mỗi một tính chất sau đây:a) $f(a-x)=f(x)$, với mọi $x\in R$b) $f(a-x)+f(x)=b$, với mọi $x\in R$
- Xét hàm số $x \rightarrow y = f(x) = \frac{{x – 1}}{x}$$a)$ Xác định tập hợp $E \subset $ $R$ sao cho $f$ là một song ánh từ $E$ vào $E..$$b)$ Xác định hàm số ngược $f^{-1}.$
- Cho hàm số $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2} $ Chứng minh rằng nếu $a+b=1$ thì $f(a)+f(b)=1$
- Cho $a, c$ là hai hằng số; $f(x)$ là một hàm số xác định trên $R$ và thỏa mãn điều kiện$af(x) = f'(x),\forall x \in R$; $f(0) = c$. Chứng minh rằng $f(x) = ce^{ax},\forall x \in R$.Từ kết quả đó hãy tìm hàm $g(x)$ nếu biết: $\int\limits_0^x g(t)dt = g(x),\forall x \in R $
- a) Vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số $y=2x^2$.b) Trên đồ thị $(P)$ ta lấy hai điểm $A, B$ có hoành độ tương ứng là $1$ và $2$. Xác định các giá trị của $m$ và $n$ để đường thẳng $y=mx+n$ tiếp xúc với $(P)$ và song song $AB$.
Trả lời