Cho các số nguyên không âm $a,b,c,d $ thỏa mãn: $\begin{cases}a^2+2b^2+3c^2+4d^2=36 \\ 2a^2+b^2-2d^2=6 \end{cases}$Tìm giá trị nhỏ nhất của $p=a^2+b^2+c^2+d^2$
Bài giải chi tiết:
Từ hệ điều kiện, bằng cách cộng theo vế ta được:
$3(a^2+b^2+c^2+d^2)=42+d^2\Rightarrow 3p \geq 42 \Leftrightarrow p\geq 14$.
Suy ra $p_{\min }= 14$ đạt được khi $d=0$ và khi đó hệ điều kiện có dạng:
$\begin{cases}a^2+2b^2+3c^2=36 (1) \\ 2a^2+b^2=6 ( 2)\end{cases} $
Từ $(2)$ ta nhận được $\begin{cases} b \textrm{chẵn} \\ 0\leq b\leq 2 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b= 0\\b = 2\end{array} \right.$.
Khi đó:
-Với $b=0$ thì $(2)$ có dạng $2a^2=6$, không có giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn.
-Với $b=2$ thì hệ có dạng:
$\begin{cases}a^2+3c^2=28 \\ 2a^2=2 \end{cases}$ mà $a \geq0, c\geq 0 $ $\Rightarrow \begin{cases}a=1 \\ c=3 \end{cases}$.
Vậy $p_{\min}=14$ đạt được khi $a=1,b=2,c=3,d=0$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời