Cho các số nguyên không âm $a,b,c,d $ thỏa mãn:     $\begin{cases}a^2+2b^2+3c^2+4d^2=36 \\ 2a^2+b^2-2d^2=6 \end{cases}$Tìm giá trị nhỏ nhất của $p=a^2+b^2+c^2+d^2$

Từ hệ điều kiện, bằng cách cộng theo vế ta được:
  $3(a^2+b^2+c^2+d^2)=42+d^2\Rightarrow 3p \geq 42 \Leftrightarrow p\geq 14$.
Suy ra $p_{\min }= 14$ đạt được khi $d=0$ và khi đó hệ điều kiện có dạng:
  $\begin{cases}a^2+2b^2+3c^2=36 (1) \\ 2a^2+b^2=6                           ( 2)\end{cases}  $
Từ $(2)$ ta nhận được $\begin{cases} b  \textrm{chẵn}  \\ 0\leq b\leq 2 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b= 0\\b = 2\end{array} \right.$.
Khi đó:
-Với $b=0$ thì $(2)$ có dạng $2a^2=6$, không có giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn.
-Với $b=2$ thì hệ có dạng:
   $\begin{cases}a^2+3c^2=28 \\ 2a^2=2 \end{cases}$ mà $a \geq0, c\geq 0 $ $\Rightarrow \begin{cases}a=1 \\ c=3 \end{cases}$.
Vậy $p_{\min}=14$ đạt được khi $a=1,b=2,c=3,d=0$