Cho các số thực $a, b, c $ thỏa $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=3 \left( a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}    \right) +3 \left( ab+bc+ca   \right) + 2 \sqrt{ a^{2} + b^{2} + c^{2} }$

Lưu ý: $ a^{2} + b^{2} + c^{2} = \left( a+b+c   \right)^{2} – 2 \left( ab+bc+ca   \right) = 1- 2 \left(   ab+bc+ca \right) $
$3 \left( a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}    \right) \geq \left( ab+bc+ca   \right)^{2} $
( Dùng $3 \left( A^{2} + B^{2}+ C^{2}   \right) \geq \left( A+B+C   \right)^{2}  $)
$\Rightarrow M \geq \left( ab+bc+ca   \right)^{2} +3 \left( ab+bc+ca   \right) +2 \sqrt{ 1-2 \left( ab+bc+ca   \right)} $
Đặt $x=ab+bc+ca$
Thì $M \geq x^{2} +3x+2 \sqrt{ 1-2x}$
Và $3 \left( ab+bc+ca   \right) \leq \left(  a+b+c  \right)^{2} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{ 1}{3}$
Lại đặt $\sqrt{ 1- 2x}=t$ thì do $0 \leq x \leq \frac{ 1}{3}$
$\Rightarrow \frac{ 1}{3} \leq 1-2x \leq 1 \Rightarrow \frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} \leq \sqrt{ 1-2x} \leq 1 $ hay $\frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} \leq t \leq 1$
Lúc này $x= \frac{ 1- t^{2}}{2}$
$x^{2} +3x+2 \sqrt{ 1-2x}= \left(  \frac{ 1-t^{2}}{2}  \right)^{2} +3 \left(  \frac{ 1-t^{2}}{2}  \right) +2t= \frac{t^{4}-8t^{2}+8t+7 }{4}$
Xét hàm $f(t)= \frac{ t^{4}-8t^{2}+8t+7}{4} \Rightarrow f’(t)= t^{3}-4t+2$
$f’( \frac{ 1}{ \sqrt{ 3}})= \frac{ 1}{3 \sqrt{ 3}}- \frac{ 4}{ \sqrt{ 3}}+2= \frac{ 6 \sqrt{ 3}-11}{3 \sqrt{ 3}} $f’(1)=-1$f’(t)$ Nhận giá trị âm trên toàn đoạn $[\frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} ; 1]$
$f(t)$ Nghịch biến $t \leq 1$ thì $f(t) \geq f(1)=2$
$\Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất  của  $f(t)$ cũng là giá trị nhỏ nhất của  M la $2$, đạt được khi $t=1 \Leftrightarrow x=0 \Leftrightarrow  \begin{cases}  ab+bc+c a=0  \\ a+b+c=1    \end{cases} $