Cho các số thực $a, b, c $ thỏa $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=3 \left( a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} \right) +3 \left( ab+bc+ca \right) + 2 \sqrt{ a^{2} + b^{2} + c^{2} }$
Bài giải chi tiết:
Lưu ý: $ a^{2} + b^{2} + c^{2} = \left( a+b+c \right)^{2} – 2 \left( ab+bc+ca \right) = 1- 2 \left( ab+bc+ca \right) $
$3 \left( a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} \right) \geq \left( ab+bc+ca \right)^{2} $
( Dùng $3 \left( A^{2} + B^{2}+ C^{2} \right) \geq \left( A+B+C \right)^{2} $)
$\Rightarrow M \geq \left( ab+bc+ca \right)^{2} +3 \left( ab+bc+ca \right) +2 \sqrt{ 1-2 \left( ab+bc+ca \right)} $
Đặt $x=ab+bc+ca$
Thì $M \geq x^{2} +3x+2 \sqrt{ 1-2x}$
Và $3 \left( ab+bc+ca \right) \leq \left( a+b+c \right)^{2} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{ 1}{3}$
Lại đặt $\sqrt{ 1- 2x}=t$ thì do $0 \leq x \leq \frac{ 1}{3}$
$\Rightarrow \frac{ 1}{3} \leq 1-2x \leq 1 \Rightarrow \frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} \leq \sqrt{ 1-2x} \leq 1 $ hay $\frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} \leq t \leq 1$
Lúc này $x= \frac{ 1- t^{2}}{2}$
$x^{2} +3x+2 \sqrt{ 1-2x}= \left( \frac{ 1-t^{2}}{2} \right)^{2} +3 \left( \frac{ 1-t^{2}}{2} \right) +2t= \frac{t^{4}-8t^{2}+8t+7 }{4}$
Xét hàm $f(t)= \frac{ t^{4}-8t^{2}+8t+7}{4} \Rightarrow f’(t)= t^{3}-4t+2$
$f’( \frac{ 1}{ \sqrt{ 3}})= \frac{ 1}{3 \sqrt{ 3}}- \frac{ 4}{ \sqrt{ 3}}+2= \frac{ 6 \sqrt{ 3}-11}{3 \sqrt{ 3}} $f’(1)=-1$f’(t)$ Nhận giá trị âm trên toàn đoạn $[\frac{ 1}{ \sqrt{ 3}} ; 1]$
$f(t)$ Nghịch biến $t \leq 1$ thì $f(t) \geq f(1)=2$
$\Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất của $f(t)$ cũng là giá trị nhỏ nhất của M la $2$, đạt được khi $t=1 \Leftrightarrow x=0 \Leftrightarrow \begin{cases} ab+bc+c a=0 \\ a+b+c=1 \end{cases} $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời