Cho đường cong $y=x^{3}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong biết:a) Tại điểm $(-1;-1)$b) Tại điểm có hoành độ bằng 2c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
Bài giải chi tiết:
Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)=x^{3}$ tại điểm
$x=x_{0}$ bất kì.
Với $\Delta x$ là số gia của $x_{0}$ ta có
*$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=(x_{0}+\Delta x)^{3}-x_{0}^{3}$
$=x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}\Delta x+3x_{0}\Delta^{2} x+\Delta^{3}
x-x_{0}^{3}$
$=\Delta x(3x_{0}^{2}+3x_{0}\Delta x+\Delta^{2} x)$
*$\frac{\Delta y}{\Delta x}=3x_{0}^{2}+3x_{0}\Delta x+\Delta^{2} x$
*$\mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta
x}=\mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0}(3x_{0}^{2}+3x_{0}\Delta
x+\Delta^{2} x)=3x_{0}^{2}$
Vậy $f^{‘}(x_{0})=3x_{0}^{2}$
a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1,-1)$ có dạng:
$y-y_{0}=f^{‘}(x_{0})(x-x_{0})$
Với $x_{0}=-1,y_{0}=-1;f^{‘}(x_{0})=f^{‘}(-1)=3$
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y+1=3(x+1)$ hay $y=3x+2$
b) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 có dạng:
$y-y_{0}=f^{‘}(x_{0})(x-x_{0})$
Với $x_{0}=2; y_{0}=x_{0}^{3}=8; f^{‘}x_{0}=f^{‘}(2)=12$
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm $y-8=12(x-2)$ hay $y=12x-16$
c) Gọi $M_{0}(x_{0},y_{0})$ là tiếp điểm.
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì hệ số góc của tiếp tuyến tại M là $k=f^{‘}(x_{0})$
Mặt khác theo giả thiết $k=3$ nên $f^{‘}(x_{0})\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}=3 \Leftrightarrow x_{0}=\pm 1$
*Với $x_{0}=1; y_{0}=f(x_{0})=1^{3}=1$ nên phương trình tiếp tuyến là:
$y-1=3(x-1)$ hay $y=3x-2$
* Với $x_{0}=-1 ; y_{0}=f(x_{0})=(-1)^{3}=-1$ nên phương trình tiếp tuyến là:
$y+1=3(x+1)$ hay $y=3x+2$
Tóm lại có 2 phương trình tiếp tuyến là $y=3x-2$ và $y=3x+2$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho hàm số: $y = \frac{x – 2}{x + 1}$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.2) $M$ là một điểm có hoành đố $a \ne – 1$, và thuộc đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$.3) Tính khoảng cách từ điểm $I(-1; 1)$ đến tiếp tuyến đó. Xác định $a$ để khoảng cách ấy là lớn nhất
- Xem hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3) Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C):y = x^3 -3x^2 + 2 $ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng: $ 5y – 3x + 4 = 0 $ .
- Cho hàm số: $y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + (2m – 1)x – m + 2\,\,\,(1)$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị ($C$) của hàm số ($1$) ứng với $m = 2.$$2.$ Qua điểm $A\left( {4/9;4/3} \right)$kẻ được mấy tiếp tuyến tới đồ thị ($C)$? Viết phương trình tiếp tuyến ấy.$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số ($1$) nghịch biến trên khoảng ($-2;0$).
- Cho parabol $y=x^2+x (P)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(P)$ tại điểm có hoành độ $x=2$
- Cho hàm số $y = \frac{2x – 4}{x + 1} (C)$. Gọi $M$ là một điểm bất kì trên đồ thị $(C)$, tiếp tuyến tại $M$ cắt các tiệm cận của $(C)$ tại $A, B$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $ABI$ ($I$ là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của $M$.
- Cho hàm số:$y = \frac{ – 2x + 1}{x + 2}\,$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. $2$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = -x$
- Cho hai hàm số: ${y_1} = {x^2} – mx – 2$ và ${y_2} = \frac{{2 – mx}}{{x – 1}}$Chứng minh với $\forall m$ đồ thị của chúng luôn đi qua cùng một điểm cố định. Tìm $m$ để tại điểm cố định đó hai đồ thị tiếp xúc nhau, tìm phương trình tiếp tuyến chung
- a) Đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{2} x^4 – x $ có tiếp tuyến là $y=-\frac{3}{4} x -\frac{3}{32} $. Tìm tiếp điểm.b) Tại điểm nào thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tạo với chiều dương trục hoành một góc $45^0$. $ y=\frac{1}{3} x^3 -\frac{5}{2} x^2 +7x -4 $
Trả lời