Cho Elip $(E)$ có phương trình: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1 $, với $0

a. Gọi $M(x_M;y_M)\in (E)$, suy ra $\frac{x_M^2}{a^2}+\frac{y_M^2}{b^2}=1          (*)$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
O{M^2} = x_M^2 + y_M^2 = {a^2}\left( {\frac{{x_M^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_M^2}}{{{a^2}}}} \right) \le {a^2}\left( {\frac{{x_M^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_M^2}}{{{b^2}}}} \right) = {a^2}\\
 \Rightarrow OM \le a\,\,\,\,\,(1)\\
O{M^2} = x_M^2 + y_M^2 = {b^2}\left( {\frac{{x_M^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_M^2}}{{{b^2}}}} \right) \le {a^2}\left( {\frac{{x_M^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_M^2}}{{{b^2}}}} \right) = {b^2}\\
 \Rightarrow OM \ge b\,\,\,\,(2)
\end{array}$
Từ $(1), (2)$ ta được: $b\leq  OM\leq  a$
b. Ta có: $F_1M^2=(x_M+c)^2+y_M^2=(x_M+c)^2+b^2(1-\frac{x_M^2}{a^2} )=(ex_M+a)^2$
$\Rightarrow  F_1M=ex_M+a$
Vì $-a\leq  x_M\leq  a\Rightarrow  -a.e+a\leq  ex_M+a\leq  ae+a\Leftrightarrow  a-c\leq  F_1M\leq  a+c$
Vậy, ta được:
$F_1M_{Max}=a+c$ đạt được khi $M(a;0)\equiv A_2$
$F_1M_{Min}=a-c$ đạt được khi $M(-a;0)\equiv A_1$