Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $[a ; b]$ và thỏa mãn điều kiện $f(\alpha ) = g(\alpha )$ với mọi điểm hữu tỉ $\alpha \in [a;b]$. Chứng minh rằng $f(x) = g(x), \forall x \in [a;b]$
Bài giải chi tiết:
Gọi ${x_o} \in {\rm{[}}a;b{\rm{]}}$ là một điểm vô
tỉ, ${\alpha _n}$ là một số thập phân (hữu tỉ) xấp xỉ dưới ${x_o}$, viết đến ${10^{ – n}}$ : $\left| {{x_o} – {\alpha _n}} \right| .
Khi đó tồn tại ${n_o} \in N$ sao
cho $n \ge {n_o}$ ta có ${\alpha _n} \in {\rm{[}}a;b{\rm{]}}$.
Vì $f(x)
= g(x)$ tại những điểm hữu tỉ nên $f({\alpha
_n}) = g({\alpha _n})$ và ta có
$f({x_o}) – g({x_o}) = f({x_o}) – f({\alpha _n}) –
{\rm{[g}}({x_o}) – g({\alpha _n}){\rm{]}}$ (1)
Theo giả thiết $f(x), g(x)$ liên tục
trên $[a ; b]$ nên\(\mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle{\rm{ }}n \to \infty \atop
\scriptstyle{\alpha _n} \to {x_o}} {\rm{[}}f({x_o}) – f({\alpha _n}){\rm{]}} = 0,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle{\rm{ }}n \to \infty \atop
\scriptstyle{\alpha _n} \to {x_o}} {\rm{[g}}({x_o})f(x) – g({\alpha _n}){\rm{]}} = 0\)
Do đó từ $(1)$ ta có $f({x_o}) = g({x_o})$.
Vậy $f(x) = g(x),{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in
{\rm{[}}a;b{\rm{]}}$.
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Chứng minh rằng phương trình: $2x+6\sqrt[3]{1-x}=3$ có ba nghiệm phân biệt thuộc $(-7,9)$
- Chứng minh rằng các phương trình sau đây:1) \(x^{5}-3x-1=0\) có ít nhất 1 nghiệm \(1
- Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases}\frac{x^{3}-1}{x-1}, x\neq 1 \\ 3, x=1\end{cases}\). Chứng minh rằng \(f(x)\) liên tục tại \(x=1\).
- Chứng minh rằng phương trình: $ 5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 = 0 $ có bốn nghiệm âm phân biệt.
- Chứng minh: $f(x)=a.\cos4x+b.\cos3x+c.\cos2x+d.\cos x=0$ luôn có nghiệm $ \in ( {0;\pi })$
- Xét dấu hàm số: $f(x) = 2 + \cos x – 2 \tan \frac{x}{2} $ trên $ (0,\pi )$
- Cho $f,g$ liên tục trên $[a,b]$ và $g(x_{0})\neq 0,x_{0}\in [a,b]$Chứng minh rằng:Nếu: $\begin{cases} 0
- Cho $ a_1, a_2, …, a_n$ là các hằng số thực. Chứng minh rằng phương trình $a_1.\cos x + a_2 \cos 2x+…+ a_n.\cos nx = 0$ luôn có nghiệm trên $[0;2\pi ].$
- Tìm các khoảng và nửa khoảng ở đó hàm sau đây liên tục:$y=f(x)=\begin{cases}x^{2}+x+1 nếu x
Trả lời