Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm mọi cấp trên $R$, và thỏa mãn điều kiện $f'( {\frac{{x + y}}{2}} ) = \frac{{f(y) – f(x)}}{{y – x}},\forall x, y \in R,x \ne y$ (1)Chứng minh: $f(x) = f''(0)\frac{{{x^2}}}{2} + f'(0)x + f(0),\forall x \in R$
Bài giải chi tiết:
Cố định $y \ne 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} = \frac{{(x – y) + (x + y)}}{2} \in R$
Từ $(1)$ suy ra
$f'(x) = \frac{{f(x + y) – f(x – y)}}{{2y}}$
Theo giả thiết $f(x)$ có đạo hàm mọi cấp nên ta có
$f”(x) = \frac{1}{{2y}}{\rm{[}}f'(x + y) – f'(x – y){\rm{]}}$
$ = \frac{1}{{2y}}\left[ {\frac{{f(x + 2y) – f(x)}}{{2y}}} \right] – \frac{{f(x – 2y) – f(x)}}{{( – 2y)}}$
(áp dụng $(1)$ với $x + y = \frac{{x + (x + 2y)}}{2};{\rm{ }}x – y = \frac{{x + (x – 2y)}}{2}$)
$ = \frac{1}{{4{y^2}}}\left[ {f'(x + 2y) + f'(x – 2y) – 2f'(x)} \right]$
Đạo hàm một lần nữa ta có:
$f”'(x) = \frac{1}{{4{y^2}}}\left[ {f'(x + 2y) + f'(x – 2y) – 2f'(x)} \right]$
$ = \frac{1}{{4{y^2}}}\left[ {\frac{{f(x + 4y) – f(x)}}{{4y}} – \frac{{f(x – 4y) – f(x)}}{{( – 4y)}} – \frac{{f(x + 4y) – f(x – 4y)}}{{4y}}} \right] = 0$
(lại áp dụng $(1)$ với $x + 2y = \frac{{x + (x + 4y)}}{2};$
$\begin{array}{l}
{\rm{ }}x – 2y = \frac{{x + (x – 4y)}}{2};\\
x = \frac{{(x – 4y) + (x + 4y)}}{2}
\end{array}$
Từ đó suy ra $f”(x) = {c_1}$; Cho $x = 0$ ta có $f”(0) = {c_1}$.
Ta có : $f'(x) = \int\limits_0^x {f”(t)dt = } \int\limits_0^x {f”(0)dt = } f”(0)x + {c_2}$;
Cho $x = 0$ ta được $f'(0) = f”(0).0 + {c_2}$
Cuối cùng: $f(x) = \int\limits_0^x {f'(t)dt = } \int\limits_0^x {{\rm{[}}f”(0)t} + f'(0){\rm{]}}dt{\rm{ = }}f”(0)\frac{{{x^2}}}{2} + f'(0)x + {c_3}$;
Cho $x = 0$ ta được: $f(0) = f”(0).0 + f'(0).0 + {c_3}$
Vậy $f(x) = f”(0)\frac{{{x^2}}}{2} + f'(0)x + f(0),{\rm{ }} \forall {{x}} \in {\rm{R}}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Xác định tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:a) $y=\tan (2x-\frac{\pi}{4} )$ b) $y= 2\sin^2(3x+\frac{\pi}{5} )$
- Cho hàm số: $y = 4x^3 + mx$a) Tùy theo các giá trị của $a$, hãy xét sự biến thiên của hàm sốb) Xác định $m$ để $\left| y \right| \le 1$ khi $\left| x \right| \le 1$
- Bỏ dấu trị tuyệt đối trong biểu thức của \(f(x)\)a) \(f(x)=|-3x+2|\) b) $ f(x)=|2x+5||3-4x|$
- Cho $a,b$ là các số thực cho trước. Xác định tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn mỗi một tính chất sau đây:a) $f(a-x)=f(x)$, với mọi $x\in R$b) $f(a-x)+f(x)=b$, với mọi $x\in R$
- Cho các hàm số : $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}},g(x) = \frac{x}{{1 – \left| x \right|}}$$ a)$ Tìm miền xác định và miền giá trị của $f(x) $ và $g(x).$$ b)$ Tìm $g_0f$ và $f_0g.$
- Xét hàm số $x \rightarrow y = f(x) = \frac{{x – 1}}{x}$$a)$ Xác định tập hợp $E \subset $ $R$ sao cho $f$ là một song ánh từ $E$ vào $E..$$b)$ Xác định hàm số ngược $f^{-1}.$
- Cho hàm số $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2} $ Chứng minh rằng nếu $a+b=1$ thì $f(a)+f(b)=1$
- Cho $a, c$ là hai hằng số; $f(x)$ là một hàm số xác định trên $R$ và thỏa mãn điều kiện$af(x) = f'(x),\forall x \in R$; $f(0) = c$. Chứng minh rằng $f(x) = ce^{ax},\forall x \in R$.Từ kết quả đó hãy tìm hàm $g(x)$ nếu biết: $\int\limits_0^x g(t)dt = g(x),\forall x \in R $
- a) Vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số $y=2x^2$.b) Trên đồ thị $(P)$ ta lấy hai điểm $A, B$ có hoành độ tương ứng là $1$ và $2$. Xác định các giá trị của $m$ và $n$ để đường thẳng $y=mx+n$ tiếp xúc với $(P)$ và song song $AB$.
Trả lời