Cho hàm số:  $f(x) = x^n + (c – n)^n$.  Trong đó $c > 0$, và $n$ là một số nguyên dương lớn hơn $1$.a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số đó.b) Từ kết quả ấy, chứng minh bất đẳng thức:  ${( {\frac{{a + b}}{2}} )^n} \le \frac{{{a^n} + {b^n}}}{2}$Với $a, b$ là hai số tùy ý thỏa mãn điều kiện $a + b \ge 0$ còn $n$ là số nguyên dương bất kỳ

a) Hàm số được xác định với mọi $x$.
$f'(x) = n{x^{n – 1}} – n{(c – x)^{n – 1}} = n\left[ {{x^{n – 1}} – {{(c – x)}^{n – 1}}} \right]$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^{n – 1}} = {(c – x)^{n – 1}} \Leftrightarrow x = c/2$ ( do $c > 0$).
$f”(x) = n(n – 1){x^{n – 2}} + n(n – 1){(c – x)^{n – 2}} = n(n – 1)\left[ {{x^{n – 2}} + {{(c – x)}^{n – 2}}} \right]$,
$f”(c/2) = n(n – 1){(c/2)^{n – 2}} > 0$,
Suy ra $f(x)$ đạt cực tiểu tại   $x = \frac{c}{2}{\rm{  }}\left( {f\left( {\frac{c}{2}} \right) = 2{{\left( {\frac{c}{2}} \right)}^n}} \right)$
Và ta có bảng biến thiên:

b) Kết quả khảo sát trên chứng tỏ với mọi $x$ và $c > 0$ ta luôn có
    ${x^n} + {(c – x)^n} \ge 2{(c/2)^n}$        $(1)$
Đặt $x = a,{\rm{ c}} = a + b$, trong đó a, b là hai số tùy ý sao cho $a + b > 0$ thì $(1)$ trở thành
    ${a^n} + {b^n} \ge 2{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n} \Leftrightarrow \frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}$.
Trường hợp $a + b = 0$: bất đẳng thức hiển nhiên đúng