Cho hàm số: $y= \frac{ 2x+1}{x+1}$a)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.b)    Tìm m để A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng $\sqrt{ 3}$ (O là gốc tọa độ).

a)   
•    Tập xác định $ D=R \setminus   {-1}$
•    Sự biến thiên: $ y’= \frac{ 1}{ \left(x+1    \right)^{2} }>0$
$ \forall x \in D$, hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Bảng biến thiên:

$x=-1$ là tiệm cận đứng
$y=2 $ là tiệm cận ngang
Đồ thị của hàm số cắt Oy tại $(0 ;1)$, cắt  tại $( -\frac{ 1}{2} ;0)$ có tâm đối xứng là $I(-1 ;2)$

b)    Xét phương trình hoành độ giao điểm của $ y=-2x+m $ và (C) :
$ \frac{ 2x+1}{x+1}=-2x+m$
$\Leftrightarrow \begin{cases}  x \neq -1  \\ 2x+1=-2 x^{2} -2x+{xm+m}    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq -1   \\   2 x^{2} + \left( 4-m   \right) x+1-m=0(*)  \end{cases} $
Thế $x=-1$ vào $(*) : 2. \left( 1   \right)^{2}-4+m+1=-1 \neq 0$. Để có hai giao điểm A,B chỉ cần $\Delta = \left( 4-m   \right)^{2} -8 \left(1 -m   \right) >0 \Leftrightarrow m^{2}  +8>0$ đúng $ \forall m$
Lúc này $x_{B}-x_{A}= \frac{ \sqrt{ m^{2} +8}}{2}$ ( quy ước $x_{B}>x_{A}$)
$d(O;AB)= \frac{ |-m|}{ \sqrt{ 2^{2}+1^{2}}}= \frac{ |m|}{ \sqrt{ 5}}$
$\begin{cases} y_{A}= -2x_{A}+m   \\ y_{B}=-2x_{B}+m    \end{cases} \Rightarrow y_{B}-y_{A}=-2 \left( x_{B}-x_{A}   \right) $
$AB= \sqrt{ \left(   x_{B}-x_{A} \right)^{2} +[ -2 \left(  x_{B}-x_{A}  \right) ]^{2}}= \left(  x_{B}-x_{A}  \right)  \sqrt{ 5}= \frac{ \sqrt{ m^{2} +8}. \sqrt{ 5}}{2}$
$S_{OAB}= \frac{ 1}{2}AB.d(O, AB)= \frac{ 1}{2}. \frac{ \sqrt{ m^{2} +8}}{ \sqrt{ 5}}{2}. \frac{ |m|}{ \sqrt{ 5}}= \frac{ |m|. \sqrt{ m^{2} +8}}{4}$
Để $S_{OAB}= \sqrt{ 3} \Leftrightarrow \frac{ |m|. \sqrt{ m^{2} +8}}{4}= \sqrt{ 3} $
$\Leftrightarrow m^{2} \left( m^{2} +8 \right) =48 $
$\Leftrightarrow m^{4}+ 8 m^{2} -48=0 $
$\Leftrightarrow m^{2} =4$ (loại  $ m^{2} =-12$)
$\Leftrightarrow m= \pm2$
Vậy giá trị m cần tìm là: $$m=\pm2.$$